Resolva
\max z=3 x+7 y
s.a \quad x \leq 3,5
5 x-4 y \leq 10
\frac{8}{14} x+2 y \leq 9
x, y \in \mathbb{Z}^{+}

Passo 1

O enunciado pede maximizar a função objetivo
z=3x+7y
sujeita às restrições
x \leq 3,5,
5x-4y \leq 10,
\frac{8}{14}x+2y \leq 9,
e à condição de integridade
x,y \in \mathbb{Z}^{+}.
Informações relevantes que o enunciado nos deu (resumindo e simplificando onde é direto):
\frac{8}{14}=\frac{4}{7},
então a terceira restrição fica
\frac{4}{7}x+2y\leq 9.
Também observe que x está limitado por x\leq 3,5 e é inteiro, por isso o valor máximo inteiro possível para x é 3. A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Estratégia prática (sem nomes técnicos complicados): como x só pode ser inteiros e tem um limite superior muito pequeno ( \leq 3,5), vamos enumerar os possíveis valores inteiros de x (uma listinha curta) e, para cada x, achar os valores inteiros possíveis de y que satisfaçam as duas outras desigualdades. Para cada par viável (x,y) calculamos z=3x+7y e escolhemos o maior. Isso é totalmente aplicável em prova quando uma variável tem domínio pequeno.

Passo 3

Transformamos as restrições para obter limites para y.
Da restrição 5x-4y\leq 10:
5x-4y\leq 10 \Rightarrow -4y \leq 10-5x \Rightarrow 4y \geq 5x-10 \Rightarrow y \geq \frac{5x-10}{4}.
Expliquei: multiplicar por -1 troca o sentido da desigualdade; depois dividimos por 4>0 sem trocar sentido.
Da restrição \frac{4}{7}x+2y\leq 9:
2y \leq 9-\frac{4}{7}x \Rightarrow y \leq \frac{9-\frac{4}{7}x}{2} = 4,5 - \frac{2}{7}x.
Portanto, para cada x temos
\frac{5x-10}{4} \leq y \leq 4,5 - \frac{2}{7}x,
além de y inteiro e y\geq 0 (se considerarmos \mathbb{Z}^+ incluindo 0; mesmo que não inclua, o ótimo que encontraremos tem y>0).

Passo 4

Como observado, x pode ser apenas os inteiros até 3,5. Então testamos x=0,1,2,3 (se a sua definição de \mathbb{Z}^{+} excluir 0, basta ignorar o caso x=0; o máximo não muda).
Para cada x calculamos o menor y inteiro possível (arredondando para cima a bound inferior) e o maior y inteiro possível (arredondando para baixo a bound superior).
  • Para x=0: y \geq \frac{5\cdot 0-10}{4} = -2,5 \Rightarrow y_{\min}=0,
y \leq 4,5-\frac{2}{7}\cdot 0 = 4,5 \Rightarrow y_{\max}=\lfloor 4,5\rfloor =4.
Logo y\in\{0,1,2,3,4\}. Calculamos z=3\cdot 0+7y=7y. Máximo em y=4: z=28.
  • Para x=1: y \geq \frac{5\cdot 1-10}{4} = -1,25 \Rightarrow y_{\min}=0,
y \leq 4,5-\frac{2}{7}\cdot 1 = 4,5-\frac{2}{7}\approx 4,214286 \Rightarrow y_{\max}=\lfloor 4,214286\rfloor =4.
Então y\in\{0,1,2,3,4\}. Calculamos z=3\cdot 1+7y=3+7y. Máximo em y=4: z=3+28=31.
  • Para x=2: y \geq \frac{5\cdot 2-10}{4} = 0 \Rightarrow y_{\min}=0,
y \leq 4,5-\frac{2}{7}\cdot 2 = 4,5-\frac{4}{7}\approx 3,928571 \Rightarrow y_{\max}=\lfloor 3,928571\rfloor =3.
Então y\in\{0,1,2,3\}. Calculamos z=3\cdot 2+7y=6+7y. Máximo em y=3: z=6+21=27.
  • Para x=3: y \geq \frac{5\cdot 3-10}{4} = \frac{5}{4}=1,25 \Rightarrow y_{\min}=\lceil 1,25\rceil =2,
y \leq 4,5-\frac{2}{7}\cdot 3 = 4,5-\frac{6}{7}\approx 3,642857 \Rightarrow y_{\max}=\lfloor 3,642857\rfloor =3.
Então y\in\{2,3\}. Calculamos:
  • para y=2: z=3\cdot 3+7\cdot 2=9+14=23;
  • para y=3: z=9+21=30.
    Máximo para x=3 é z=30 em y=3.

Passo 5

Comparando os máximos encontrados para cada x:
x=0\Rightarrow z_{\max}=28,
x=1\Rightarrow z_{\max}=31,
x=2\Rightarrow z_{\max}=27,
x=3\Rightarrow z_{\max}=30.
O maior valor de z é 31, obtido em (x,y)=(1,4).

Resposta

(x,y)=(1,4),\\ z=31

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