Resolva: \operatorname{sen} x \cos y d x-\cos x \operatorname{sen} y d y=0.
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial
\sin x\cos y\,dx-\cos x\sin y\,dy=0.
O que nos pedem: encontrar a solução geral da equação diferencial (uma relação entre x e y que satisfaça a equação).
Informações dadas que vamos usar: a equação está escrita em forma diferencial com dx e dy. Podemos tratar y como função de x e reescrever a equação em termos de \dfrac{dy}{dx} para encontrar y(x) implicitamente. Note que operações com \tan, \cos e \sin exigem atenção a pontos onde \cos é zero (serão discutidos como soluções especiais).
Passo 2
Transformar a equação para a forma \dfrac{dy}{dx}=\cdots. Dividindo ambos os lados por dx (assumindo dx\neq0) obtemos
\sin x\cos y-\cos x\sin y\frac{dy}{dx}=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\cos x\sin y\frac{dy}{dx}=\sin x\cos y.
Agora, desde que \cos x\neq0 e \cos y\neq0 (vamos tratar as exceções depois), podemos dividir por \cos x\cos y para simplificar. Fazendo isso:
Explicação rápida: \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Ao dividir numerador e denominador por \cos x\cos y aparecem essas tangentes.
Passo 3
Separar variáveis. A equação obtida é
\frac{dy}{dx}=\frac{\tan x}{\tan y}.
Multiplicando ambos os lados por \tan y\,dx (ou reorganizando os termos) obtemos
\tan y\,dy=\tan x\,dx.
Isto é separação de variáveis: colocamos tudo que depende de y no lado esquerdo e tudo que depende de x no lado direito, permitindo integrar cada lado em sua própria variável.
Passo 4
Integrar os dois lados. Precisamos lembrar a primitiva de \tan u. Calculamos:
\int \tan u\,du=\int \frac{\sin u}{\cos u}\,du.
Fazendo a substituição v=\cos u, então dv=-\sin u\,du, logo
Igualando (pois as integrais são iguais até uma constante):
-\ln|\cos y|=-\ln|\cos x|+C,
onde C=C_2-C_1 é constante arbitrária.
Passo 5
Manipular a expressão obtida para obter a solução implícita de forma mais clara. Da igualdade
-\ln|\cos y|=-\ln|\cos x|+C
temos
\ln|\cos x|-\ln|\cos y|=C.
Usando propriedades dos logaritmos:
\ln\left|\frac{\cos x}{\cos y}\right|=C.
Exponenciando ambos os lados (renomeando a constante e^{C} por K, que pode ser qualquer número real não nulo):
\frac{\cos x}{\cos y}=K,
ou equivalentemente
\cos x = K\cos y,
com K\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. Aqui permitimos K negativo; o caso K=0 merece interpretação separada (ver passo seguinte).
Passo 6
Tratar soluções singulares omitidas pela divisão por \cos x ou \cos y. Ao separar variáveis assumimos \cos x\neq0 e \cos y\neq0. Existem soluções constantes que ficaram fora dessa manipulação: se y é constante e dy=0, a equação original passa a ser \sin x\cos y\,dx=0 para todo x. Para isto ser verdade para qualquer dx é necessário \cos y=0. Assim, as funções constantes
y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
são soluções da equação diferencial (são as soluções singulares com \cos y=0). Quanto a K=0 na forma \cos x = K\cos y: se K=0 isso exigiria \cos x\equiv0 na solução, o que não corresponde a uma função y(x) válida para todo x (seria uma condição sobre x e não sobre y). Portanto a família geral obtida é
\frac{\cos x}{\cos y}=K\quad (K\neq0)
mais as soluções singulares y=\dfrac{\pi}{2}+k\pi.
Passo 7
Verificação rápida (para me deixar confiante e a você também): derivando implicitamente \cos x=K\cos y em relação a x temos
-\sin x = K(-\sin y)\frac{dy}{dx}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{\sin x}{K\sin y}.