Resolva:
(a) |z-3|=2;

Passo 1

O enunciado dá a equação |z-3|=2.
O que se pede (implícito): determinar o conjunto de números complexos z que satisfazem essa igualdade — ou seja, descrever a solução/locução geométrica dessa equação.
Informações relevantes: a expressão envolve o módulo (valor absoluto) de um número complexo deslocado por 3, e o módulo é igual a 2.

Passo 2

Vamos escrever z em coordenadas reais para trabalhar com coisas que a gente conhece bem. Seja
z = x + i y,
onde x e y são números reais, x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z).
Explicando: toda parte complexa pode ser representada assim — x é a coordenada horizontal, y a vertical no plano.

Passo 3

Agora preciso usar a definição de módulo de um número complexo. Para w = u + i v com u,v\in\mathbb{R},
|w| = \sqrt{u^{2}+v^{2}}.
Isto é, o módulo é a distância de w à origem no plano (distância euclidiana).

Passo 4

Aplicando isso a w=z-3. Primeiro escrevo
z-3 = (x+iy)-3 = (x-3) + i y.
Pelo item anterior,
|z-3| = \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}.
A equação dada |z-3|=2 fica então
\sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}} = 2.

Passo 5

Elimino a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado (operacão legítima porque ambos os lados são não-negativos):
(x-3)^{2}+y^{2} = 4.
Expliquei cada símbolo: x e y são as coordenadas reais do ponto correspondente ao número complexo z. A equação acima é a equação cartesiana de um círculo no plano.

Passo 6

Interpretação geométrica e parâmetros do círculo: a equação
(x-3)^{2}+y^{2}=4
é o círculo de centro (3,0) e raio 2. Ou seja, o conjunto de todos os pontos que estão a distância 2 do ponto (3,0). Em termos de z, isso significa que todos os z a distância 2 do ponto complexo 3+0i resolvem a equação.

Passo 7

Forma parametrizada (útil para escrever todos os z de forma direta): um ponto genérico do círculo pode ser escrito usando um ângulo \theta\in[0,2\pi):
x=3+2\cos\theta,\qquad y=2\sin\theta.
Portanto, em termos de z,
z = 3 + 2(\cos\theta + i\sin\theta) = 3 + 2e^{i\theta},\qquad \theta\in[0,2\pi).
Explicando: e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta descreve a circunferência de raio 1 centrada na origem; multiplicando por 2 dá raio 2 e somando 3 desloca o centro para 3.

Passo 8

Exemplos rápidos para fixar (só para sentir a solução): se \theta=0 temos z=3+2=5 que corresponde ao ponto (5,0) e verifica |5-3|=2. Se \theta=\pi temos z=3-2=1 que verifica |1-3|=2. Se \theta=\pi/2 temos z=3+2i, etc. Isso confirma que a descrição está consistente.

Resposta

\{z\in\mathbb{C}\mid ( \operatorname{Re}(z)-3 )^{2}+(\operatorname{Im}(z))^{2}=4\}
\{\,z\in\mathbb{C}\mid z=3+2e^{i\theta},\\ \theta\in[0,2\pi)\,\}

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