Resolva:
(a)
;
(a)
Passo 1
O enunciado dá a equação
.
O que se pede (implícito): determinar o conjunto de números complexos que satisfazem essa igualdade — ou seja, descrever a solução/locução geométrica dessa equação.
Informações relevantes: a expressão envolve o módulo (valor absoluto) de um número complexo deslocado por , e o módulo é igual a
.
O que se pede (implícito): determinar o conjunto de números complexos
Informações relevantes: a expressão envolve o módulo (valor absoluto) de um número complexo deslocado por
Passo 2
Vamos escrever
em coordenadas reais para trabalhar com coisas que a gente conhece bem. Seja
onde
e
são números reais,
e
.
Explicando: toda parte complexa pode ser representada assim — é a coordenada horizontal,
a vertical no plano.
Explicando: toda parte complexa pode ser representada assim —
Passo 3
Agora preciso usar a definição de módulo de um número complexo. Para
com
,
Isto é, o módulo é a distância de
à origem no plano (distância euclidiana).
Passo 4
Aplicando isso a
. Primeiro escrevo
Pelo item anterior,
A equação dada
fica então
Passo 5
Elimino a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado (operacão legítima porque ambos os lados são não-negativos):
Expliquei cada símbolo:
e
são as coordenadas reais do ponto correspondente ao número complexo
. A equação acima é a equação cartesiana de um círculo no plano.
Passo 6
Interpretação geométrica e parâmetros do círculo: a equação
é o círculo de centro
e raio
. Ou seja, o conjunto de todos os pontos que estão a distância
do ponto
. Em termos de
, isso significa que todos os
a distância
do ponto complexo
resolvem a equação.
Passo 7
Forma parametrizada (útil para escrever todos os
de forma direta): um ponto genérico do círculo pode ser escrito usando um ângulo
:
Portanto, em termos de
,
Explicando:
descreve a circunferência de raio
centrada na origem; multiplicando por
dá raio
e somando
desloca o centro para
.
Passo 8
Exemplos rápidos para fixar (só para sentir a solução): se
temos
que corresponde ao ponto
e verifica
. Se
temos
que verifica
. Se
temos
, etc. Isso confirma que a descrição está consistente.