Resolva:
c) |2 y+1| \geq 5.

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade com valor absoluto
|2y+1| \geq 5.
O que é pedido: determinar todos os valores de y (ou seja, o conjunto solução) que satisfazem essa desigualdade. Informações relevantes que temos:
  • A expressão dentro do valor absoluto é 2y+1.
  • O número à direita é 5, que é não negativo ( 5\geq0), então a desigualdade faz sentido e pode ser tratada pelo método padrão de casos.

Passo 2

Regra/ferramenta que vamos usar (explicação didática): para qualquer expressão u e qualquer número real a\geq0 vale a equivalência
|u|\geq a \quad\Longleftrightarrow\quad u\geq a \\ \text{ ou }\\ u\leq -a.
Por quê? Intuição simples: |u| mede a distância de u até 0. Se essa distância é pelo menos a, então u está fora do intervalo aberto (-a,a), ou seja, ou à direita de a (então u\ge a) ou à esquerda de -a (então u\le -a). Também dá para ver algébrica e formalmente, mas essa intuição já basta para aplicar no cálculo.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso, com u=2y+1 e a=5, obtemos as duas desigualdades equivalentes:
2y+1 \geq 5 \quad\text{ou}\quad 2y+1 \leq -5.

Passo 4

Resolver a primeira desigualdade passo a passo:
2y+1 \geq 5.
Subtrair 1 dos dois lados:
2y \geq 5-1 = 4.
Dividir por 2 (divisão por número positivo mantém a desigualdade):
y \geq 2.

Passo 5

Resolver a segunda desigualdade passo a passo:
2y+1 \leq -5.
Subtrair 1 dos dois lados:
2y \leq -5-1 = -6.
Dividir por 2:
y \leq -3.

Passo 6

Juntando os dois resultados (é união porque valia “ou”), a solução é
y \leq -3 \quad\text{ou}\quad y \geq 2.
Em notação de intervalo:
(-\infty,-3]\cup[2,\infty).
Observação rápida sobre inclusão dos extremos: os valores y=-3 e y=2 também satisfazem a desigualdade porque colocam 2y+1=\pm5, e a desigualdade é do tipo \geq, que inclui igualdade.

Passo 7

Verificações rápidas para ganhar confiança:
  • Se y=3, então 2y+1=7 e |7|=7\ge5 — funciona.
  • Se y=0, então 2y+1=1 e |1|=1<5 — não pertence à solução.
  • Se y=-4, então 2y+1=-7 e |-7|=7\ge5 — funciona.

Resposta

(-\infty,-3]\cup[2,\infty)

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