Resolva os PDI, por Laplace(todas as questões valem 2,5 pontos):
\begin{aligned} \ddot{y}+\dot{y}+2 y & =e^{-t} \\ y(0) & =\dot{y}(0)=0 \\ \ddot{y}+y= & u_{\pi}(t) \cos (t-\pi) \\ y(0)= & \dot{y}(0)=0 \\ \ddot{y}-y & =\delta(t-\pi) \\ y(0) & =\dot{y}(0)=0 \\ \ddot{y}-3 y & =u_{\pi}(t) \\ y(0) & =\dot{y}(0)=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado apresenta quatro equações diferenciais lineares de segunda ordem com condições iniciais nulas, e pede a solução por transformada de Laplace. Vamos usar:
\mathcal L\{\dot y\}=sY(s)-y(0),
\mathcal L\{\ddot y\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-\dot y(0),
além das propriedades de deslocamento para o degrau u_a(t) e para o impulso \delta(t-a).

Passo 2

Para
\ddot y + \dot y + 2y = e^{-t},\quad y(0)=\dot y(0)=0
aplicamos Laplace:
s^2Y(s)+sY(s)+2Y(s)=\frac{1}{s+1},
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Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s^2+s+2)}.
Fazendo frações parciais,
\frac{1}{(s+1)(s^2+s+2)}=\frac{\tfrac12}{s+1}-\frac{\tfrac12\,s}{s^2+s+2},
sendo s^2+s+2=(s+\tfrac12)^2+(\tfrac{\sqrt7}{2})^2. Invertendo a transformada:
y(t) =\frac12e^{-t} -\frac12e^{-t/2}\cos\!\Bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\Bigr) +\frac{1}{2\sqrt7}e^{-t/2}\sin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\Bigr).

Passo 3

Para
\ddot y + y = u_{\pi}(t)\cos(t-\pi),\quad y(0)=\dot y(0)=0
temos
\mathcal L\{u_{\pi}(t)\cos(t-\pi)\} =e^{-\pi s}\frac{s}{s^2+1}.
A transformada da equação é
s^2Y(s)+Y(s)=e^{-\pi s}\frac{s}{s^2+1}, \quad Y(s)=e^{-\pi s}\frac{s}{(s^2+1)^2}.
Como
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{s}{(s^2+1)^2}\Bigr\}=\frac12\,t\sin t,
a solução é
y(t)=\frac12\,u_{\pi}(t)\,(t-\pi)\sin(t-\pi).

Passo 4

Para
\ddot y - y = \delta(t-\pi),\quad y(0)=\dot y(0)=0
temos
\mathcal L\{\delta(t-\pi)\}=e^{-\pi s},
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s^2Y(s)-Y(s)=e^{-\pi s}, \quad Y(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s^2-1} =\frac{e^{-\pi s}}{2}\Bigl(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+1}\Bigr).
Invertendo:
y(t) =\frac12\,u_{\pi}(t)\bigl(e^{\,t-\pi}-e^{-(t-\pi)}\bigr) = u_{\pi}(t)\operatorname{sinh}(t-\pi).

Passo 5

Para
\ddot y -3y = u_{\pi}(t),\quad y(0)=\dot y(0)=0
temos
\mathcal L\{u_{\pi}(t)\}=\frac{e^{-\pi s}}{s},
e
s^2Y(s)-3Y(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s}, \quad Y(s)=e^{-\pi s}\frac{1}{s(s^2-3)}.
Fazendo frações parciais,
\frac{1}{s(s^2-3)} =-\frac{1}{3}\frac{1}{s}+\frac{1}{3}\frac{s}{s^2-3},
e invertendo:
y(t) =u_{\pi}(t)\Bigl(-\tfrac13+\tfrac13\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt3\,(t-\pi)\bigr)\Bigr).

Resposta

y_1(t)=\tfrac{1}{2}e^{-t}-\tfrac{1}{2}e^{-t/2}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\bigr)+\tfrac{1}{2\sqrt{7}}e^{-t/2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\bigr)
y_2(t)=\tfrac{1}{2}\,u_{\pi}(t)\,(t-\pi)\sin(t-\pi)
y_3(t)=u_{\pi}(t)\operatorname{sinh}(t-\pi)
y_4(t)=u_{\pi}(t)\bigl(-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{3}\,(t-\pi)\bigr)\bigr)

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