Três fios são utilizados para sustentar a placa. Os fios A e B tem diâmetro de 3,175 \mathrm{~mm} e são de aluminio ( E=70 \mathrm{GPa} ). O fio C é de aço ( E=200 \mathrm{GPa} ) e tem diâmetro de 2,117 \mathrm{~mm}. Sabendo que L=100 \mathrm{~mm}, e que \sigma_{y, a c ̧ o}=250 \mathrm{MPa}̧ e \sigma_{y, \text { aluminio }}=145 \mathrm{MPa}, determine a máxima carga P que pode ser aplicada considerando um fator de segurança de 2. Considere que as distânicas horizontais \mathrm{AC}=\mathrm{CB}=200 \mathrm{~mm}.

Passo 1

Temos três fios verticais ligados a uma placa rígida em A, C e B, espaçados de modo que AC = CB =200 mm. Sobre a placa atua uma carga vertical P no centro (ponto C). Os fios A e B são de alumínio com diâmetro d_{\text{Al}}=3{,}175 mm e módulo de Young E_{\text{Al}}=70 GPa, o fio C é de aço com diâmetro d_{\text{St}}=2{,}117 mm e E_{\text{St}}=200 GPa. O comprimento de cada fio é L=100 mm. As tensões de escoamento são \sigma_{y,\text{Al}}=145 MPa e \sigma_{y,\text{St}}=250 MPa, e o fator de segurança é 2. Vamos modelar cada fio como uma mola com rigidez k_i = \frac{A_i E_i}{L} e usar equilíbrio de corpo rígido para distribuir P nos fios.

Passo 2

Calculamos as áreas transversais e as rigidezes:
A área do alumínio é
A_{\text{Al}} = \frac{\pi}{4}\bigl(3{,}175\times10^{-3}\bigr)^2 \approx7{,}915\times10^{-6}\,\text{m}^2
e sua rigidez é
k_{\text{Al}} = \frac{A_{\text{Al}}\,E_{\text{Al}}}{L} = \frac{7{,}915\times10^{-6}\times70\times10^{9}}{0{,}1} \approx5{,}54\times10^{6}\,\text{N/m}.
Para o aço,
A_{\text{St}} = \frac{\pi}{4}\bigl(2{,}117\times10^{-3}\bigr)^2 \approx3{,}52\times10^{-6}\,\text{m}^2,
k_{\text{St}} = \frac{A_{\text{St}}\,E_{\text{St}}}{L} = \frac{3{,}52\times10^{-6}\times200\times10^{9}}{0{,}1} \approx7{,}04\times10^{6}\,\text{N/m}.

Passo 3

Pela simetria e pelo fato de o ponto de aplicação de P ser o centróide do arranjo, não há rotação da placa \theta=0 e todos os fios defletem igualmente \delta. Assim, as forças nos fios são
F_{\text{Al}} = k_{\text{Al}}\,\delta,\quad F_{\text{St}} = k_{\text{St}}\,\delta
e a soma das reações é 2F_{\text{Al}}+F_{\text{St}}=P. Logo
\delta = \frac{P}{2\,k_{\text{Al}} + k_{\text{St}}},
F_{\text{Al}} = \frac{k_{\text{Al}}}{2\,k_{\text{Al}} + k_{\text{St}}}\,P,\quad F_{\text{St}} = \frac{k_{\text{St}}}{2\,k_{\text{Al}} + k_{\text{St}}}\,P.

Passo 4

Impondo presença de fator de segurança 2, as tensões admissíveis são
\sigma_{\text{adm,Al}} = \frac{145\text{ MPa}}{2}=72{,}5\text{ MPa},\quad \sigma_{\text{adm,St}} = \frac{250\text{ MPa}}{2}=125\text{ MPa}.
De F_{\text{Al}}/A_{\text{Al}}\le\sigma_{\text{adm,Al}} vem
F_{\text{Al,max}} = \sigma_{\text{adm,Al}}\,A_{\text{Al}} =72{,}5\times10^{6}\times7{,}915\times10^{-6} \approx572{,}9\text{ N},
de onde
P_{\text{Al,lim}} = \frac{572{,}9}{(k_{\text{Al}}/(2k_{\text{Al}}+k_{\text{St}}))} \approx\frac{572{,}9}{0{,}3057} \approx1874\text{ N}.
De F_{\text{St}}/A_{\text{St}}\le\sigma_{\text{adm,St}} vem
F_{\text{St,max}} =125\times10^{6}\times3{,}52\times10^{-6} \approx440\text{ N},
P_{\text{St,lim}} = \frac{440}{(k_{\text{St}}/(2k_{\text{Al}}+k_{\text{St}}))} \approx\frac{440}{0{,}3887} \approx1132\text{ N}.

Passo 5

O valor máximo de P é o menor dos limites calculados, pois nenhum fio pode exceder sua tensão admissível. Portanto, o valor máximo de P é 1132 N.

Resposta

P_{\max}\approx1132\text{ N}.

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