4- Resolva: (1.0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de
e
que satisfazem a equação
Informações dadas: temos uma expressão complexa escrita na forma “parte real +
·parte imaginária” e as incógnitas são
e
. A missão é encontrar os valores de
e
que tornam essa igualdade verdadeira.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida, sem pânico): uma igualdade entre números complexos
significa que a parte real
vale
e a parte imaginária
também vale
. Isso porque a escrita
é única: não existe outra forma de representar o mesmo número com partes distintas. Então, para que um número complexo seja o zero, suas duas componentes (real e imaginária) devem ser zero simultaneamente. Vamos usar isso passo a passo.
Passo 3
Aplicando o conceito ao problema, identificamos a parte real e a parte imaginária da expressão dada:
a parte real é e a parte imaginária é
.
Portanto obtemos o sistema de equações (cada uma igual a zero):
a parte real é
Portanto obtemos o sistema de equações (cada uma igual a zero):
Passo 4
Resolvendo o sistema por eliminação (vou mastigar cada conta): multiplico a primeira equação por
para facilitar a eliminação de
:
Agora somo essa equação com a segunda equação
para eliminar
:
As
e
se cancelam, sobrando
Passo 5
Da equação
isolamos
:
Agora substituímos
em uma das equações originais (uso a mais simples,
):
logo
Passo 6
Checagem final (sempre boa na prova): substituo
na expressão original:
parte real: .
parte imaginária: .
Como ambas são zero, a igualdade complexa é satisfeita.
parte real:
parte imaginária:
Como ambas são zero, a igualdade complexa é satisfeita.