4- Resolva: (1.0 pontos)
(2 x+y-4)+i(7 x-2 y-3)=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de x e y que satisfazem a equação
(2x+y-4)+i(7x-2y-3)=0.
Informações dadas: temos uma expressão complexa escrita na forma “parte real + i·parte imaginária” e as incógnitas são x e y. A missão é encontrar os valores de x e y que tornam essa igualdade verdadeira.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida, sem pânico): uma igualdade entre números complexos
a+ib = 0
significa que a parte real a vale 0 e a parte imaginária b também vale 0. Isso porque a escrita a+ib é única: não existe outra forma de representar o mesmo número com partes distintas. Então, para que um número complexo seja o zero, suas duas componentes (real e imaginária) devem ser zero simultaneamente. Vamos usar isso passo a passo.

Passo 3

Aplicando o conceito ao problema, identificamos a parte real e a parte imaginária da expressão dada:
a parte real é 2x+y-4 e a parte imaginária é 7x-2y-3.
Portanto obtemos o sistema de equações (cada uma igual a zero):
2x+y-4=0
7x-2y-3=0

Passo 4

Resolvendo o sistema por eliminação (vou mastigar cada conta): multiplico a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de y:
2\cdot(2x+y-4)=0 \quad\Rightarrow\quad 4x+2y-8=0.
Agora somo essa equação com a segunda equação (7x-2y-3=0) para eliminar y:
(4x+2y-8)+(7x-2y-3)=0+0.
As 2y e -2y se cancelam, sobrando
4x+7x-8-3=0 \quad\Rightarrow\quad 11x-11=0.

Passo 5

Da equação 11x-11=0 isolamos x:
11x=11 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Agora substituímos x=1 em uma das equações originais (uso a mais simples, 2x+y-4=0):
2\cdot 1 + y -4 =0 \quad\Rightarrow\quad 2+y-4=0 \quad\Rightarrow\quad y-2=0,
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y=2.

Passo 6

Checagem final (sempre boa na prova): substituo (x,y)=(1,2) na expressão original:
parte real: 2\cdot1+2-4=2+2-4=0.
parte imaginária: 7\cdot1-2\cdot2-3=7-4-3=0.
Como ambas são zero, a igualdade complexa é satisfeita.

Resposta

(x,y)=(1,2)

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