Expresse os números complexos abaixo na forma
: ( 2.0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: "Expresse o número complexo abaixo na forma
". O número dado é:
Informações relevantes fornecidas:
(numerador),
(denominador). O objetivo final é obter uma expressão do tipo
, ou seja, separar a parte real
e a parte imaginária
.
Passo 2
Conceito importante (Euler): para qualquer ângulo
em radianos vale a fórmula
Aqui
é um número real (o argumento em radianos),
é a unidade imaginária (
),
e
são as funções trigonométricas. Essa fórmula nos permite passar da forma exponencial/ polar para a forma retangular
.
Passo 3
Regra de divisão em forma exponencial: dados dois complexos em forma exponencial
e
, sua divisão é
Justificativa curta: usa-se
(propriedade dos expoentes).
Passo 4
Aplicando a regra ao nosso número:
Calcule as operações numéricas:
e
. Logo temos
Passo 5
Agora usamos Euler para converter para a forma
:
Aqui a parte real é
e a parte imaginária é
. Observação: o ângulo
está em radianos; como
radianos não é um ângulo “notável” cujos cosseno e seno têm valores simples, a forma exata natural é essa em termos de
e
.
Passo 6
Se você precisar de uma aproximação numérica (uso de calculadora): calcule
e
.
Valores aproximados:
e
.
Multiplicando por :
Valores aproximados:
Multiplicando por
Arredondando para quatro casas decimais temos
e
.