Expresse os números complexos abaixo na forma x+i y : ( 2.0 pontos)
\frac{15 e^{6 i}}{3 e^{2 i}}

Passo 1

O enunciado pede: "Expresse o número complexo abaixo na forma x+i y". O número dado é:
\frac{15 e^{6 i}}{3 e^{2 i}}.
Informações relevantes fornecidas:
\,15 e^{6 i} (numerador), \,3 e^{2 i} (denominador). O objetivo final é obter uma expressão do tipo x+i y, ou seja, separar a parte real x e a parte imaginária y.

Passo 2

Conceito importante (Euler): para qualquer ângulo \theta em radianos vale a fórmula
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
Aqui \theta é um número real (o argumento em radianos), i é a unidade imaginária ( i^2=-1), \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas. Essa fórmula nos permite passar da forma exponencial/ polar para a forma retangular x+i y.

Passo 3

Regra de divisão em forma exponencial: dados dois complexos em forma exponencial \,r_1 e^{i\theta_1} e \,r_2 e^{i\theta_2}, sua divisão é
\frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}.
Justificativa curta: usa-se e^{i\theta_1}/e^{i\theta_2}=e^{i(\theta_1-\theta_2)} (propriedade dos expoentes).

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso número:
\frac{15 e^{6 i}}{3 e^{2 i}}=\frac{15}{3}\,e^{i(6-2)}.
Calcule as operações numéricas: \frac{15}{3}=5 e 6-2=4. Logo temos
5 e^{4 i}.

Passo 5

Agora usamos Euler para converter para a forma x+i y:
5 e^{4 i}=5(\cos 4 + i\sin 4)=5\cos 4 + i\,5\sin 4.
Aqui a parte real é x=5\cos 4 e a parte imaginária é y=5\sin 4. Observação: o ângulo 4 está em radianos; como 4 radianos não é um ângulo “notável” cujos cosseno e seno têm valores simples, a forma exata natural é essa em termos de \cos e \sin.

Passo 6

Se você precisar de uma aproximação numérica (uso de calculadora): calcule \cos 4 e \sin 4.
Valores aproximados:
\cos 4\approx -0,6536436209 e \sin 4\approx -0,7568024953.
Multiplicando por 5:
5\cos 4\approx -3,2682181045,\qquad 5\sin 4\approx -3,7840124765.
Arredondando para quatro casas decimais temos x\approx -3,2682 e y\approx -3,7840.

Resposta

5\cos 4 + i\,5\sin 4\n -3,2682 + i\,(-3,7840)

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