Resolva se possível, as seguintes equações em IR:
\quad x(x-1)|x+1|=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver na reta dos reais a equação
x(x-1)|x+1|=0.
Informações importantes dadas:
  • A expressão é um produto de três fatores: x, x-1 e |x+1|.
  • Estamos procurando todos os números reais x que tornam esse produto igual a zero.

Passo 2

Conceito-chave (bem prático para a prova): propriedade do produto nulo. Ela diz que, para números reais, se o produto de vários fatores é zero então pelo menos um desses fatores é zero. Ou seja, se
a\cdot b\cdot c=0,
então a=0 ou b=0 ou c=0. Essa propriedade é direta: se todos os fatores fossem diferentes de zero, o produto também seria diferente de zero.

Passo 3

Aplicando a propriedade do produto nulo à nossa equação, concluímos que devemos resolver as três equações individuais:
x=0,
x-1=0,
|x+1|=0.

Passo 4

Resolver as primeiras duas é direto:
x=0 \quad\text{é solução.}éçã
x-1=0 \Rightarrow x=1 \quad\text{é solução.}éçã

Passo 5

Agora um mini-aula sobre valor absoluto: |y| é sempre não negativo e |y|=0 acontece exatamente quando y=0. Em termos formais, |y|=0 se, e somente se, y=0. Aplicando isso a |x+1|=0, obtemos
x+1=0 \Rightarrow x=-1.
Então x=-1 também é candidato a solução.

Passo 6

Vamos verificar substituindo cada candidato na equação original (isso não é obrigatório, mas é uma boa prática para provas e evita erros):
  • Para x=0: 0\cdot(0-1)\cdot|0+1| = 0\cdot(-1)\cdot 1 = 0. OK.
  • Para x=1: 1\cdot(1-1)\cdot|1+1| = 1\cdot 0\cdot 2 = 0. OK.
  • Para x=-1: (-1)\cdot(-1-1)\cdot|-1+1| = (-1)\cdot(-2)\cdot 0 = 0. OK.
Todas as três são realmente soluções.

Resposta

x=-1
x=0
x=1

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