Uma observação útil: \left|x^{3}\right|=|x|^{3}\]. Exemplo rápido para fixar: se \(x=-2, então \left|(-2)^{3}\right|=\left|-8\right|=8 e também |-2|^{3}=2^{3}=8.]
Passo 3
Caso 1: x\ge0.
Então \left|x^{3}\right|=x^{3} e a equação fica
x^{3}=x^{3}-x^{2}.
Subtraindo x^{3} dos dois lados:
0=-x^{2}.
Logo
x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=0.
Verificação: x=0 pertence ao caso x\ge0 e substituindo na equação original temos |0|=0-0, isto é 0=0. Portanto x=0 é uma solução válida.
Passo 4
Caso 2: x<0.
Então \left|x^{3}\right|=-x^{3} e a equação fica
-x^{3}=x^{3}-x^{2}.
Passando tudo para um lado:
0=2x^{3}-x^{2}.
Fatorando:
0=x^{2}(2x-1).
As raízes dessa equação são x=0 ou x=\tfrac{1}{2}. Mas ambas violam a hipótese do caso x<0: x=0 não é estritamente negativo e x=\tfrac{1}{2}>0. Portanto não há soluções provenientes deste caso.
Passo 5
Conclusão combinando os casos: a única solução encontrada e válida é x=0.
Breve verificação final: substituindo x=0 em \left|x^{3}\right|=x^{3}-x^{2} obtemos 0=0, tudo certo.