Resolva se possível, as seguintes equações em IR:
\left|x^{3}\right|=x^{3}-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: resolver em \mathbb{R} a equação
\left|x^{3}\right|=x^{3}-x^{2}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A incógnita é x e ela varia em todos os reais, isto é x\in\mathbb{R}.
  • O lado esquerdo \left|x^{3}\right| é sempre não negativo.
  • O lado direito é x^{3}-x^{2}, um polinômio em x.
  • Vamos precisar usar a definição de valor absoluto e fazer uma análise por casos (dependendo do sinal de x).

Passo 2

Lembrete didático sobre valor absoluto: para qualquer real y\), \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
No nosso caso y=x^{3}\]. Como o sinal de \[x^{3} é o mesmo que o sinal de x (isto é, x^{3}\ge0 exatamente quando x\ge0), podemos escrever
\left|x^{3}\right| = \begin{cases} x^{3}, & \text{se } x\ge0,\\[4pt] -x^{3}, & \text{se } x<0. \end{cases}
Uma observação útil: \left|x^{3}\right|=|x|^{3}\]. Exemplo rápido para fixar: se \(x=-2, então \left|(-2)^{3}\right|=\left|-8\right|=8 e também |-2|^{3}=2^{3}=8.]

Passo 3

Caso 1: x\ge0.
Então \left|x^{3}\right|=x^{3} e a equação fica
x^{3}=x^{3}-x^{2}.
Subtraindo x^{3} dos dois lados:
0=-x^{2}.
Logo
x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=0.
Verificação: x=0 pertence ao caso x\ge0 e substituindo na equação original temos |0|=0-0, isto é 0=0. Portanto x=0 é uma solução válida.

Passo 4

Caso 2: x<0.
Então \left|x^{3}\right|=-x^{3} e a equação fica
-x^{3}=x^{3}-x^{2}.
Passando tudo para um lado:
0=2x^{3}-x^{2}.
Fatorando:
0=x^{2}(2x-1).
As raízes dessa equação são x=0 ou x=\tfrac{1}{2}. Mas ambas violam a hipótese do caso x<0: x=0 não é estritamente negativo e x=\tfrac{1}{2}>0. Portanto não há soluções provenientes deste caso.

Passo 5

Conclusão combinando os casos: a única solução encontrada e válida é x=0.
Breve verificação final: substituindo x=0 em \left|x^{3}\right|=x^{3}-x^{2} obtemos 0=0, tudo certo.

Resposta

0

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