Resolva se possível, as seguintes equações em IR:
Passo 1
O enunciado pede: resolver na reta dos números reais
a equação
Informações dadas: a incógnita é
e aparecem valores absolutos
e
. A missão é encontrar todos os
reais que tornam essa igualdade verdadeira (ou concluir que não existe solução).
Passo 2
Vamos recordar um fato-chave sobre valor absoluto e como usá‑lo aqui (aqui eu explico passo a passo como pensar nisso na prova).
Definição: para todo número real
Propriedade útil (produto dentro do módulo): para quaisquer reais
vale
Aplicando essa propriedade com
e
(observe que
), obtemos
Isso simplifica muito a equação original, porque elimina a dependência do sinal de
na parcela com o
.]
Passo 3
Substituindo
na equação dada temos
Agora faço uma manipulação algébrica básica para isolar
. Subtraio
de ambos os lados:
ou seja
Subtraindo
de ambos os lados:
E dividindo por
:
Passo 4
A parte teórica importante aqui (que sempre vale a pena lembrar na hora da prova) é: para todo
temos
. Ou seja, o valor absoluto nunca é negativo. No passo anterior obtivemos
, que é um número negativo. Isso é impossível, pois não existe nenhum
real cujo valor absoluto seja negativo. Alternativamente, já poderíamos ter visto que a expressão à esquerda da equação original,
, é sempre pelo menos
, enquanto
é sempre não negativo; mesmo assim a manipulação algebraica deixa a contradição explícita.
Passo 5
Como chegamos a uma contradição (uma igualdade que exige
negativo), concluímos que não existe nenhum
que satisfaça a equação original. Respira — é normal topar com equações que não têm solução, e identificar a impossibilidade é exatamente resolver o problema.
Resposta
Não existe solução em
.