Resolva se possível, as seguintes equações em IR:
|4 x|+1=|x|

Passo 1

O enunciado pede: resolver na reta dos números reais \mathbb{R} a equação
|4x| + 1 = |x|.
Informações dadas: a incógnita é x\in\mathbb{R} e aparecem valores absolutos |4x| e |x|. A missão é encontrar todos os x reais que tornam essa igualdade verdadeira (ou concluir que não existe solução).

Passo 2

Vamos recordar um fato-chave sobre valor absoluto e como usá‑lo aqui (aqui eu explico passo a passo como pensar nisso na prova).
Definição: para todo número real t\), \[|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t \ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t < 0. \end{cases}
Propriedade útil (produto dentro do módulo): para quaisquer reais a\] e \(b vale
|ab| = |a|\,|b|.
Aplicando essa propriedade com a=4 e b=x (observe que |4|=4), obtemos
|4x| = 4|x|.
Isso simplifica muito a equação original, porque elimina a dependência do sinal de x na parcela com o 4.]

Passo 3

Substituindo |4x| = 4|x| na equação dada temos
4|x| + 1 = |x|.
Agora faço uma manipulação algébrica básica para isolar |x|. Subtraio |x| de ambos os lados:
4|x| - |x| + 1 = 0,
ou seja
3|x| + 1 = 0.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
3|x| = -1.
E dividindo por 3:
|x| = -\tfrac{1}{3}.

Passo 4

A parte teórica importante aqui (que sempre vale a pena lembrar na hora da prova) é: para todo x\in\mathbb{R} temos |x| \ge 0. Ou seja, o valor absoluto nunca é negativo. No passo anterior obtivemos |x| = -\tfrac{1}{3}, que é um número negativo. Isso é impossível, pois não existe nenhum x real cujo valor absoluto seja negativo. Alternativamente, já poderíamos ter visto que a expressão à esquerda da equação original, |4x|+1, é sempre pelo menos 1, enquanto |x| é sempre não negativo; mesmo assim a manipulação algebraica deixa a contradição explícita.

Passo 5

Como chegamos a uma contradição (uma igualdade que exige |x| negativo), concluímos que não existe nenhum x\in\mathbb{R} que satisfaça a equação original. Respira — é normal topar com equações que não têm solução, e identificar a impossibilidade é exatamente resolver o problema.

Resposta

Não existe solução em \mathbb{R}.

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