(5.0) Resolva o problema da equação do calor, completamente, encontrando a temperatura em uma barra onde existe geração de calor, de acordo com as condições abaixo:
\begin{array}{r} \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\sin (2 \pi x), \quad u(0, t)=0 \text { e } u(1, t)=0 \\\ u(x, 0)=10+\sin (2 \pi x), 0<x<1 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede a solução de
\frac{\partial u}{\partial t} \;=\;\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} \;+\;\sin(2\pi x), \quad u(0,t)=0,\;u(1,t)=0, \quad u(x,0)=10+\sin(2\pi x).
Este é um problema de calor com termo de geração \sin(2\pi x). Vamos usar a decomposição
u(x,t)=\varphi(x)+v(x,t),
onde \varphi(x) é a solução estacionária de
\varphi''(x)+\sin(2\pi x)=0,\quad \varphi(0)=\varphi(1)=0,
e v(x,t) satisfaz o problema homogêneo de calor
v_{t}=v_{xx},\quad v(0,t)=v(1,t)=0,
com condição inicial v(x,0)=u(x,0)-\varphi(x).

Passo 2

Encontramos \varphi(x) resolvendo
\varphi''(x)=-\sin(2\pi x).
Integramos duas vezes:
\varphi'(x)=\frac{1}{2\pi}\cos(2\pi x)+C_{1}, \quad \varphi(x)=\frac{1}{(2\pi)^{2}}\sin(2\pi x)+C_{1}x+C_{2}.
Das condições \varphi(0)=0 segue C_{2}=0. De \varphi(1)=0 e \sin(2\pi)=0 obtemos C_{1}=0. Logo
\varphi(x)=\frac{1}{4\pi^{2}}\sin(2\pi x).

Passo 3

Definimos
v(x,t)=u(x,t)-\varphi(x),
então v satisfaz
v_{t}=v_{xx},\quad v(0,t)=v(1,t)=0,
e a condição inicial
v(x,0)=\bigl(10+\sin(2\pi x)\bigr)-\frac{1}{4\pi^{2}}\sin(2\pi x) =10 +\Bigl(1-\frac{1}{4\pi^{2}}\Bigr)\sin(2\pi x).
Defina A=1-\tfrac{1}{4\pi^{2}}.

Passo 4

Expandimos
v(x,0)=10 + A\sin(2\pi x)
em série de senos \{\sin(n\pi x)\}_{n=1}^{\infty}\). Os coeficientes são \[B_{n}=2\int_{0}^{1}v(x,0)\,\sin(n\pi x)\,\mathrm{d}x =2\int_{0}^{1}10\sin(n\pi x)\,\mathrm{d}x +2A\int_{0}^{1}\sin(2\pi x)\sin(n\pi x)\,\mathrm{d}x.
Calcula-se
2\int_{0}^{1}10\sin(n\pi x)\,\mathrm{d}x =20\,\frac{1-(-1)^{n}}{n\pi},
e
2A\int_{0}^{1}\sin(2\pi x)\sin(n\pi x)\,\mathrm{d}x =\begin{cases} A,&n=2,\\\\ 0,&n\neq2. \end{cases}
Assim
B_{n}=\frac{20\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)}{n\pi} +\;A\,\delta_{n,2}.
Em particular, para n\] ímpar \(B_{n}=40/(n\pi), e B_{2}=A.

Passo 5

A solução transiente é
v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,e^{-n^{2}\pi^{2}t}\,\sin(n\pi x).
Logo a solução completa é
u(x,t) =\underbrace{\frac{1}{4\pi^{2}}\sin(2\pi x)}_{\varphi(x)} +\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,e^{-n^{2}\pi^{2}t}\,\sin(n\pi x).
Separando os casos,
u(x,t) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{40}{(2m+1)\pi}\, e^{-(2m+1)^{2}\pi^{2}t}\,\sin\bigl((2m+1)\pi x\bigr) +\sin(2\pi x)\Bigl[\tfrac{1}{4\pi^{2}} +\Bigl(1-\tfrac{1}{4\pi^{2}}\Bigr)e^{-4\pi^{2}t}\Bigr].

Resposta

\boxed{ u(x,t) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{40}{(2m+1)\pi}\, e^{-(2m+1)^{2}\pi^{2}t}\,\sin\bigl((2m+1)\pi x\bigr) +\sin(2\pi x)\Bigl[\frac{1}{4\pi^{2}} +\Bigl(1-\frac{1}{4\pi^{2}}\Bigr)e^{-4\pi^{2}t}\Bigr]. }

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