Uma bola de neve está derretendo de forma que seu volume diminui a uma taxa constante de 25 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s}. Suponha que a bola de neve é perfeitamente esférica durante todo o processo. Determine a taxa de variação do raio da bola de neve \left(\frac{d r}{d t}\right) no instante em que o raio da bola é 5 cm .

Passo 1

O enunciado diz que uma bola de neve, sempre esférica, tem volume diminuindo a uma taxa constante de 25, \mathrm{cm^3/s}. O conteúdo aqui é de “taxas relacionadas” em derivadas. Vamos usar a relação entre o volume de uma esfera e seu raio, e depois diferenciar em relação ao tempo.

Passo 2

A fórmula do volume de uma esfera de raio r é
V = \tfrac{4}{3}\,\pi\,r^3.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t (aplicando a regra da cadeia), obtemos
\frac{dV}{dt} \;=\; 4\,\pi\,r^2 \,\frac{dr}{dt}.

Passo 4

Queremos \tfrac{dr}{dt} quando r=5, \mathrm{cm}. Sabemos que \tfrac{dV}{dt}=-25, \mathrm{cm^3/s}. Substituindo em
-25 = 4\,\pi\,(5)^2 \,\frac{dr}{dt}
segue que
\frac{dr}{dt} = \frac{-25}{4\,\pi\,(25)} = \frac{-25}{100\,\pi} = -\frac{1}{4\,\pi}.

Resposta

\frac{dr}{dt} = -\frac{1}{4\pi}\,\text{cm/s}.

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