(3,0) Encontre o regime permanente (somente) no problema da condução do calor em uma barra descrito pelas condições abaixo.
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-u, \quad u(0, t)=0, \quad u(1, t)=10, \quad u(x, 0)=x

Passo 1

O enunciado pede o regime permanente, ou seja, a solução v(x) que não depende de t e satisfaz
0 = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} - v,
com as condições de contorno v(0)=0 e v(1)=10. O conteúdo aqui é resolver a ODE linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevendo a ODE de regime permanente:
v'' - v = 0.
A equação característica é r^2 - 1 = 0, com raízes r=1 e r=-1. Logo, a solução geral é
v(x) = A e^{x} + B e^{-x},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Impondo a condição v(0)=0 obtemos
v(0)=A + B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = -A.
Substituindo em v(x)
v(x) = A\bigl(e^{x} - e^{-x}\bigr) = 2A\,\operatorname{sinh}(x).

Passo 4

Agora usamos v(1)=10:
v(1)=2A\,\operatorname{sinh}(1)=10 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{10}{2\,\operatorname{sinh}(1)} = \frac{5}{\operatorname{sinh}(1)}.

Passo 5

Substituindo A em v(x)=2A\,\operatorname{sinh}(x) resulta
v(x) = 2\cdot\frac{5}{\operatorname{sinh}(1)}\,\operatorname{sinh}(x) = \frac{10\,\operatorname{sinh}(x)}{\operatorname{sinh}(1)}.

Resposta

\boxed{v(x) = \frac{10\,\operatorname{sinh}(x)}{\operatorname{sinh}(1)}.}

Exercícios relacionados