Em 1756, Euler deduziu o Método dos Multiplicadores de Lagrange na tentativa de resolver o Problema Isoperimétrico: Dentre todas as curvas simples fechadas do plano, com um dado comprimento, qual é a que delimita a maior área possível? Mais tarde foi demonstrado que a resposta é a circunferência. Utilizando multiplicadores de Lagrange, resolva o problema isoperimético para retângulos, isto é, dentre todos os retângulos de mesmo perímetro p, determine o que possui área máxima.

Passo 1

O exercício pede para, entre todos os retângulos de perímetro fixo p, achar aquele que maximiza a área, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos as variáveis: sejam x e y os lados do retângulo. A área é A(x,y)=x,y e a restrição do perímetro é g(x,y)=2(x+y)-p=0.

Passo 3

Montamos o Lagrangiano
L(x,y,lambda)=x,y-lambdal[2(x+y)-pr]
e calculamos as derivadas parciais:
$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=y-2\lambda=0,\quad
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=x-2\lambda=0,\quad
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=-2(x+y)+p=0.$$

Passo 4

Do primeiro e segundo equações vem y=2lambda e x=2lambda, logo x=y. Substituindo na terceira:
-2( x+x )+p=0implies 4x=pimplies x=y=p4

Passo 5

Concluímos que o retângulo de área máxima é aquele com x=y=tfrac p4, ou seja, um quadrado de lado p/4. A área máxima vale
Amax=l(p4r)^2=p^216

Resposta

O retângulo de área máxima é o quadrado de lado p/4, com área máxima p^2/16.

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