Em 1756, Euler deduziu o Método dos Multiplicadores de Lagrange na tentativa de resolver o Problema Isoperimétrico: Dentre todas as curvas simples fechadas do plano, com um dado comprimento, qual é a que delimita a maior área possível? Mais tarde foi demonstrado que a resposta é a circunferência. Utilizando multiplicadores de Lagrange, resolva o problema isoperimético para retângulos, isto é, dentre todos os retângulos de mesmo perímetro
, determine o que possui área máxima.
Passo 1
O exercício pede para, entre todos os retângulos de perímetro fixo
, achar aquele que maximiza a área, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos as variáveis: sejam
e
os lados do retângulo. A área é
e a restrição do perímetro é
.
Passo 3
Montamos o Lagrangiano
e calculamos as derivadas parciais:
$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=y-2\lambda=0,\quad
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=x-2\lambda=0,\quad
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=-2(x+y)+p=0.$$
Passo 4
Do primeiro e segundo equações vem
e
, logo
. Substituindo na terceira:
Passo 5
Concluímos que o retângulo de área máxima é aquele com
, ou seja, um quadrado de lado
. A área máxima vale
Resposta
O retângulo de área máxima é o quadrado de lado
, com área máxima
.