Resolva o problema a seguir, considerando amostragem sem reposição, portanto, população finita.
Uma empresa de produtos eletrônicos deseja avaliar o valor médio de estoque de três categorias de produtos ( \mathrm{A}, \mathrm{B} e C ) em um de seus centros de distribuição, onde há um total de N unidades. Essa análise é necessária para otimizar o fluxo de caixa e planejar futuras reposições de estoque.
A empresa tem duas opções: realizar um inventário completo, contabilizando o valor de todos os produtos em estoque, ou escolher uma amostra aleatória de produtos e calcular o valor médio da amostra para estimar o valor médio do estoque.
No caso específico, deseja-se extrair uma amostra de 12 produtos de uma população de 36 produtos, formada por 6 produtos da categoria A, 12 da categoria B e 18 da categoria C. Para simplificação, vamos supor que conhecemos o valor de cada produto, o que permite calcular o valor médio populacional. Na prática, o valor médio da população é estimado através de uma amostra.
Para realizar essa atividade, você deverá utilizar as técnicas de amostragem aleatórias apresentadas na aula 3.
Considere a população como o universo de 36 produtos eletrônicos e resolva as questões abaixo, utilizando os conhecimentos adquiridos em sala de aula e consultando a literatura adequada:
Apresente um relatório e discuta seus resultados.

Passo 1

O enunciado apresenta uma população finita de N=36 produtos divididos em três categorias (estratos) com
N_A=6,\quad N_B=12,\quad N_C=18
e quer estimar o valor médio populacional de estoque extraindo uma amostra de tamanho n=12 sem reposição. Para resolver isso de fato seria preciso conhecer o valor de cada uma das 36 unidades, mas esses dados não foram fornecidos. Sem eles não podemos calcular nem a média populacional nem a variância de forma numérica.

Passo 2

Apesar de não termos os valores, podemos descrever como procederíamos em duas estratégias de amostragem aleatória sem reposição:
  1. Amostragem aleatória simples (AAS): escolhe-se n=12 unidades ao acaso entre as 36.
  • O estimador da média é
\bar{y}_{\text{AAS}}=\frac{1}{n}\sum_{i\in s}y_i,
onde s é a amostra.
  • A variância do estimador, pelo fator de correção para população finita (fpc), é
\Var(\bar{y}_{\text{AAS}})=\Bigl(1-\frac{n}{N}\Bigr)\frac{S^2}{n},
em que
S^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(y_i-\mu)^2
é a variância populacional verdadeira.

Passo 3

  1. Amostragem estratificada proporcional: dentro de cada estrato h\in\{A,B,C\} sorteamos
n_h = n\frac{N_h}{N}
unidades, o que dá n_A=2, n_B=4, n_C=6.
  • O estimador da média é a média ponderada pelos tamanhos dos estratos:
\bar{y}_{\text{EST}} = \sum_{h\in\{A,B,C\}}\frac{N_h}{N}\,\bar{y}_h,
com \bar{y}_h a média observada no estrato h.
  • A variância desse estimador é
\Var(\bar{y}_{\text{EST}}) = \sum_{h}\Bigl(\frac{N_h}{N}\Bigr)^{2} \Bigl(1-\frac{n_h}{N_h}\Bigr)\frac{S_h^2}{n_h},
onde
S_h^2=\frac{1}{N_h-1}\sum_{i\in h}(y_i-\mu_h)^2
é a variância dentro do estrato h.

Passo 4

Em sala de aula vimos que, se as variâncias S_h^2 diferem muito entre estratos, essa alocação proporcional já reduz a variância do estimador em comparação à AAS. Se quisermos ainda mais eficiência, usaríamos alocação de Neyman, que distribui n entre os estratos em função de N_hS_h.

Resposta

Não é possível fornecer valores numéricos para a média estimada nem para as variâncias dos estimadores sem conhecer os valores y_i das 36 unidades. Acima descrevemos, porém, todo o procedimento de amostragem simples e de amostragem estratificada proporcional que se aplicaria assim que esses dados forem disponibilizados.

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