Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI dydx=x^2(1+y) com condição inicial y(0)=3. Esse é um EDO de primeira ordem do tipo separável, então vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, separamos as variáveis colocando todos os termos com y de um lado e os com x do outro:
11+y,dy = x^2,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. De um lado temos
integral 11+y,dy = ln|1+y|
e do outro
integral x^2,dx = x^33 + C
Portanto:
ln|1+y| = x^33 + C

Passo 4

Exponenciando para isolar y:
1 + y = e^x^33 + C = Ce^x^33, onde redefinimos a constante e^C como C.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=3:
1 + 3 = C e^0 implies C = 4
Logo a solução geral com a constante ajustada é
1 + y = 4e^x^33 implies y = 4e^x^33 - 1

Resposta

y(x)=4e^tfracx^33-1

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