Estima-se que daqui a t anos a população de certa cidade à beira de um lago estará aumentando à razão de P(t)=0,6 t^2+0,2 t+ 0,5 mil habitantes por ano. Os ecologistas descobriram que o índice de poluição do lago aumenta à razão de aproximadamente 5 unidades para cada 1.000 habitantes. Qual será o aumento do índice de poluição do lago nos próximos 2 anos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que mostra como a população de uma cidade está crescendo ao longo do tempo, e queremos descobrir quanto isso vai aumentar o índice de poluição do lago nos próximos 2 anos. Para isso, vamos precisar de um pouco de cálculo, especificamente de integração, para calcular o aumento total da população. Depois, vamos usar essa informação para encontrar o aumento no índice de poluição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada: P(t) = 0,6 t^2 + 0,2 t + 0,5. Essa função nos diz a taxa de crescimento da população por ano, em milhares de habitantes. Para saber o aumento total da população em 2 anos, precisamos somar todas essas taxas ao longo desse período, o que matematicamente é feito através da integração da função de t = 0 até t = 2.

Passo 3

Agora, vamos fazer a integração da função P(t) de 0 a 2 anos. A integral de uma função nos dá a área sob a curva dessa função, que, nesse contexto, representa o aumento total da população.
Então, a integral que precisamos calcular é:
integral0^2 (0,6 t^2 + 0,2 t + 0,5) , dt

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos cada termo separadamente:
  1. A integral de 0,6 t^2 é 0,6 cdot t^33 = 0,2 t^3.
  2. A integral de 0,2 t é 0,2 cdot t^22 = 0,1 t^2.
  3. A integral de 0,5 é 0,5 t.
Então, a solução da integral fica:
0,2 t^3 + 0,1 t^2 + 0,5 t
Agora, avaliamos essa expressão de t = 2 e t = 0:
Para t = 2:
0,2 (2)^3 + 0,1 (2)^2 + 0,5 (2) = 0,2 cdot 8 + 0,1 cdot 4 + 0,5 cdot 2 = 1,6 + 0,4 + 1,0 = 3,0
Para t = 0:
0,2 (0)^3 + 0,1 (0)^2 + 0,5 (0) = 0 + 0 + 0 = 0
Então, a diferença é 3,0 - 0 = 3,0.
Isso significa que, em 2 anos, a população vai aumentar em 3,0 mil habitantes.

Passo 5

Agora que sabemos que a população vai aumentar em 3,0 mil habitantes, vamos calcular como isso afeta o índice de poluição. Sabemos que para cada 1.000 habitantes, o índice de poluição aumenta 5 unidades.
Então, multiplicamos o aumento da população pelo aumento do índice de poluição por mil habitantes:
3,0 , mil habitantes times 5 , unidadesmil habitantes = 15 , unidades

Resposta

O índice de poluição do lago vai aumentar em 15 unidades nos próximos 2 anos.

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