Estima-se que daqui a
anos a população de certa cidade à beira de um lago estará aumentando à razão de
0,5 mil habitantes por ano. Os ecologistas descobriram que o índice de poluição do lago aumenta à razão de aproximadamente 5 unidades para cada 1.000 habitantes. Qual será o aumento do índice de poluição do lago nos próximos 2 anos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que mostra como a população de uma cidade está crescendo ao longo do tempo, e queremos descobrir quanto isso vai aumentar o índice de poluição do lago nos próximos 2 anos. Para isso, vamos precisar de um pouco de cálculo, especificamente de integração, para calcular o aumento total da população. Depois, vamos usar essa informação para encontrar o aumento no índice de poluição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada:
. Essa função nos diz a taxa de crescimento da população por ano, em milhares de habitantes. Para saber o aumento total da população em 2 anos, precisamos somar todas essas taxas ao longo desse período, o que matematicamente é feito através da integração da função de
até
.
Passo 3
Agora, vamos fazer a integração da função
de 0 a 2 anos. A integral de uma função nos dá a área sob a curva dessa função, que, nesse contexto, representa o aumento total da população.
Então, a integral que precisamos calcular é:
Passo 4
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos cada termo separadamente:
- A integral de
é . - A integral de
é . - A integral de
é .
Então, a solução da integral fica:
Agora, avaliamos essa expressão de
e
:
Para :
Para
Para
:
Então, a diferença é
.
Isso significa que, em 2 anos, a população vai aumentar em 3,0 mil habitantes.
Passo 5
Agora que sabemos que a população vai aumentar em 3,0 mil habitantes, vamos calcular como isso afeta o índice de poluição. Sabemos que para cada 1.000 habitantes, o índice de poluição aumenta 5 unidades.
Então, multiplicamos o aumento da população pelo aumento do índice de poluição por mil habitantes:
Resposta
O índice de poluição do lago vai aumentar em 15 unidades nos próximos 2 anos.