Resolva as equações diferenciais abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, mais especificamente uma equação linear. Para resolver, vamos precisar usar métodos para equações lineares, como o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão das equações lineares:
. No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.