Resolva as equações diferenciais abaixo:
d Td t=-2(T-10);

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial d Td t = -2(T - 10). Aqui estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, mais especificamente uma equação linear. Para resolver, vamos precisar usar métodos para equações lineares, como o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão das equações lineares: d Td t + P(t) T = Q(t). No nosso caso, temos:
d Td t + 2 T = 20
Aqui, P(t) = 2 e Q(t) = 20.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 2 dt = e^2t
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante mu(t):
e^2t d Td t + 2 e^2t T = 20 e^2t
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto mu(t) T:
ddt (e^2t T) = 20 e^2t

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t:
integral ddt (e^2t T) dt = integral 20 e^2t dt
Isso nos dá:
e^2t T = 10 e^2t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos T dividindo ambos os lados por e^2t:
T = 10 + C e^-2t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
T(t) = 10 + C e^-2t
onde C é uma constante arbitrária.

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