Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse problema de valor inicial! O enunciado que você me passou é uma equação diferencial do tipo linear. Isso significa que a solução envolve algumas técnicas específicas da matemática para encontrar a função
que satisfaz a equação dada e a condição inicial
. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma ferramenta muito útil para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro que é uma equação diferencial linear. A equação dada é:
Aqui, a gente tem a forma geral da equação linear:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em:
Viu como ficou mais simples? Isso acontece porque o fator integrante foi escolhido para que o lado esquerdo da equação seja a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Já o lado direito precisamos usar a técnica de integração por partes.
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Então, a integral do lado direito fica:
Passo 7
Voltando à nossa equação, temos:
Para achar
, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: