Resolva o problema de valor inicial:
d yd t-5 y=-12 t, y(0)=-72

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse problema de valor inicial! O enunciado que você me passou é uma equação diferencial do tipo linear. Isso significa que a solução envolve algumas técnicas específicas da matemática para encontrar a função que satisfaz a equação dada e a condição inicial . Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma ferramenta muito útil para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro que é uma equação diferencial linear. A equação dada é:
dydt - 5y = -12t
Aqui, a gente tem a forma geral da equação linear:
dydt + P(t)y = Q(t)
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante mu(t) = e^integral P(t) dt é dado por:
mu(t) = e^integral -5 dt = e^-5t
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^-5t cdot dydt - 5e^-5ty = -12t cdot e^-5t :
ddt ( e^-5t y ) = -12t e^-5t
Isso transforma a equação em:
Viu como ficou mais simples? Isso acontece porque o fator integrante foi escolhido para que o lado esquerdo da equação seja a derivada do produto .

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a integral ddt ( e^-5t y ) dt = integral -12t e^-5t dt :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Já o lado direito precisamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Lembrando que:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • integral t e^-5t dt = -15 t e^-5t + 15 integral e^-5t dt = -15 t e^-5t - 125 e^-5t + C -12 ( -15 t e^-5t - 125 e^-5t ) + C = 125 t e^-5t + 1225 e^-5t + C
Aplicando a integração por partes:
Então, a integral do lado direito fica:

Passo 7

Voltando à nossa equação, temos:
e^-5t y = 125 t e^-5t + 1225 e^-5t + C
Para achar y = 125 t + 1225 + C e^5t , vamos multiplicar ambos os lados por :

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial -72 = 125 cdot 0 + 1225 + C e^0 para encontrar a constante -72 = 1225 + C . Substituindo C = -72 - 1225 = -17550 - 2450 = -19950 :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 125 t + 1225 - 19950 e^5t

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