Resolva o seguinte Problema de Valor Inicial:
d yd x=x^5y^6, y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial que envolve uma equação diferencial. A gente vai trabalhar com cálculo, especificamente com equações diferenciais separáveis. Precisamos separar as variáveis e , e então integrar para encontrar a solução que passa pelo ponto dado .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
d yd x = x^5y^6
Vamos multiplicar ambos os lados por e por para isolar os termos que envolvem de um lado e os que envolvem do outro.

Passo 3

Multiplicando os dois lados por y^6 , d y = x^5 , d x e , temos:
Agora, as variáveis estão separadas, com tudo envolvendo de um lado e tudo envolvendo do outro.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar as funções primitiva de cada lado. A integração nos ajuda a encontrar a expressão geral da solução.
Integral do lado esquerdo:
integral y^6 , d y = y^77 + C1
Integral do lado direito:
integral x^5 , d x = x^66 + C2
Onde e são constantes de integração.

Passo 5

Vamos unir as integrais e simplificar as constantes. Subtraindo y^77 = x^66 + C de ambos os lados e renomeando as constantes, podemos escrever:
Onde é uma constante que engloba as diferenças entre e .

Passo 6

Para encontrar o valor de 1^77 = 0^66 + C implies 17 = 0 + C implies C = 17 , usamos a condição inicial dada: . Vamos substituir e na equação:

Passo 7

Agora, substituímos y^77 = x^66 + 17 de volta na equação geral:
y^7 = 76 x^6 + 1
Vamos multiplicar todos os termos por 7 para simplificar:

Passo 8

Para encontrar y = ( 76 x^6 + 1 )^1/7 em termos de , tiramos a raiz sétima de ambos os lados:

Resposta

A solução do Problema de Valor Inicial é:
y(x) = ( 76 x^6 + 1 )^17

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