Resolva o seguinte Problema de Valor Inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial que envolve uma equação diferencial. A gente vai trabalhar com cálculo, especificamente com equações diferenciais separáveis. Precisamos separar as variáveis
e
, e então integrar para encontrar a solução que passa pelo ponto dado
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Vamos multiplicar ambos os lados por
e por
para isolar os termos que envolvem
de um lado e os que envolvem
do outro.
Passo 3
Multiplicando os dois lados por
e
, temos:
Agora, as variáveis estão separadas, com tudo envolvendo
de um lado e tudo envolvendo
do outro.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar as funções primitiva de cada lado. A integração nos ajuda a encontrar a expressão geral da solução.
Integral do lado esquerdo:
Integral do lado direito:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Vamos unir as integrais e simplificar as constantes. Subtraindo
de ambos os lados e renomeando as constantes, podemos escrever:
Onde
é uma constante que engloba as diferenças entre
e
.
Passo 6
Para encontrar o valor de
, usamos a condição inicial dada:
. Vamos substituir
e
na equação:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na equação geral:
Vamos multiplicar todos os termos por 7 para simplificar:
Passo 8
Para encontrar
em termos de
, tiramos a raiz sétima de ambos os lados:
Resposta
A solução do Problema de Valor Inicial é: