1. (2.0 pt.) Resolva o problema de valor inicial abaixo:
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}+\frac{3 y}{x}+2=3 x \\ y(1)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx} + \frac{3}{x}y + 2 = 3x,\\\ y(1)=1, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
\frac{dy}{dx} + \frac{3}{x}\,y = 3x - 2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante \mu(x) como
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{3}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(3\ln|x|\bigr) = x^3.

Passo 4

Multiplicando toda a equação por \mu(x)=x^3, obtemos
x^3\frac{dy}{dx} + 3x^2y = 3x^4 - 2x^3,
que reconhecemos como
\frac{d}{dx}\bigl(x^3y\bigr) = 3x^4 - 2x^3.
Integrando ambos os lados em relação a x:
x^3y = \int \bigl(3x^4 - 2x^3\bigr)\,dx = \frac{3}{5}x^5 - \frac12x^4 + C.

Passo 5

Isolando y fica
y = \frac{3}{5}x^2 - \frac12x + C\,x^{-3}.
Agora aplicamos a condição y(1)=1:
1 = \frac{3}{5} - \frac12 + C \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{9}{10}.
Portanto, a solução particular é
y(x) = \frac{3}{5}x^2 - \frac12x + \frac{9}{10}x^{-3}.

Resposta

y(x) = \frac{3}{5}x^2 - \frac12x + \frac{9}{10}x^{-3}.

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