1. (2.0 pt.) Resolva o PVI: \cos ^{2} x \sin x \frac{d y}{d x}+\left(\cos ^{3} x\right) y=1, y(\pi / 4)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\cos^{2}x\,\sin x\;\frac{dy}{dx} \;+\;\cos^{3}x\;y \;=\;1, \qquad y\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=0.
Este é um PVI de equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos primeiro escrever na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
identificar o fator integrante e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Dividindo toda a equação por \cos^{2}x\,\sin x, obtemos
\frac{dy}{dx} \;+\;\frac{\cos^{3}x}{\cos^{2}x\,\sin x}\;y \;=\;\frac{1}{\cos^{2}x\,\sin x}.
Simplificando o coeficiente de y e o termo do lado direito, vem
\frac{dy}{dx} + \cot x\;y = \operatorname{sec}^{2}x\,\csc x.

Passo 3

Para equações lineares, o fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \cot x\,dx\Bigr) = \exp(\ln|\sin x|) = \sin x.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=\sin x:
\sin x\,\frac{dy}{dx} + \sin x\cot x\;y = \sin x\;\operatorname{sec}^{2}x\,\csc x \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(y\,\sin x\bigr) = \operatorname{sec}^{2}x,
pois \sin x\cot x=\cos x e \sin x\cdot\csc x=1. Agora integramos em x:
y\,\sin x = \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x + C.

Passo 5

Isolando y, obtemos
y(x) = \frac{\tan x + C}{\sin x} = \frac{\tan x}{\sin x} + \frac{C}{\sin x} = \operatorname{sec} x + C\,\csc x.
Usamos a condição inicial y(\pi/4)=0:
0 = y\bigl(\tfrac\pi4\bigr) = \operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac\pi4\bigr) + C\,\csc\!\bigl(\tfrac\pi4\bigr) = \sqrt{2} + C\,\sqrt{2} \;\Longrightarrow\;C = -1.

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = \operatorname{sec} x \;-\;\csc x.

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