1. (2.0 pt.) Resolva o problema de valor inicial abaixo:
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}+\frac{3 y}{x}+2=3 x \\ y(1)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx} + \frac{3}{x}\,y + 2 = 3x,\\\ y(1)=1, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
Aqui temos P(x)=3/x e podemos reorganizar o termo constante ao lado direito para escrever
\frac{dy}{dx} + \frac{3}{x}\,y = 3x - 2.

Passo 2

Para resolver uma equação linear de primeira ordem usamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{3}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(3\ln|x|\bigr) = x^3.
Multiplicamos ambos os lados da equação por \mu(x)=x^3, obtendo
x^3\frac{dy}{dx} + 3x^2\,y = x^3(3x-2).

Passo 3

O lado esquerdo acima é exatamente a derivada do produto x^3y, isto é,
\frac{d}{dx}\bigl(x^3y\bigr) = x^3\frac{dy}{dx} + 3x^2\,y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\bigl(x^3y\bigr) = 3x^4 - 2x^3.
Integramos ambos os lados em relação a x:
x^3y = \int\bigl(3x^4 - 2x^3\bigr)\,dx = \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{4}x^4 + C = \frac{3}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + C.

Passo 4

Isolando y, vem
y(x) = \frac{1}{x^3}\Bigl(\frac{3}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + C\Bigr) = \frac{3}{5}x^2 - \frac{1}{2}x + C\,x^{-3}.
Agora usamos a condição y(1)=1:
1 = \frac{3}{5}\cdot1^2 - \frac{1}{2}\cdot1 + C\cdot1^{-3} = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} + C = \frac{6-5}{10} + C = \frac{1}{10} + C.
Logo
C = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}.

Passo 5

Substituindo C=\tfrac{9}{10} na solução geral, obtemos a solução particular
y(x) = \frac{3}{5}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{9}{10}\,x^{-3}.

Resposta

y(x) = \frac{3}{5}x^2 \;-\;\frac{1}{2}x\;+\;\frac{9}{10}\,x^{-3}.

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