Resolva o problema de valor inicial.
(d) t y'(t) + 2 y(t) = sen(t), y(pi/2) = 0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema de valor inicial juntos. A gente tem uma equação diferencial do tipo primeira ordem:
E a condição inicial é . Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação. Para isso, precisamos identificar os coeficientes e encontrar o fator que vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos todos os termos por (assumindo que ):
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Usamos propriedades dos logaritmos e da exponenciação para simplificar.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto .

Passo 5

Reescrevemos a equação como a derivada de :
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a para encontrar .

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Aqui, usamos integração por partes para resolver .

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial :
Sabemos que e , então:

Passo 9

Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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