Utilizando o método de seperação de variáveis, resolva a equação diferencial prospota.
(d) y'(t) - t^2 * y(t) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de separação de variáveis. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos separar as variáveis e em lados opostos da equação, o que facilita a integração e a obtenção da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado:
Isso coloca a derivada de em termos de e , preparando para separar as variáveis.

Passo 3

Agora, expressamos como :
Isso nos ajuda a visualizar melhor como separar as variáveis.

Passo 4

Vamos separar as variáveis e para lados opostos da equação. Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Agora, cada variável está em seu próprio lado, o que nos permite integrar separadamente.

Passo 5

Integrando ambos os lados da equação:
As integrais são:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar como uma nova constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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