Utilizando o método de seperação de variáveis, resolva a equação diferencial prospota.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de separação de variáveis. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação, o que facilita a integração e a obtenção da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado:
Isso coloca a derivada de
em termos de
e
, preparando para separar as variáveis.
Passo 3
Agora, expressamos
como
:
Isso nos ajuda a visualizar melhor como separar as variáveis.
Passo 4
Vamos separar as variáveis
e
para lados opostos da equação. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Agora, cada variável está em seu próprio lado, o que nos permite integrar separadamente.
Passo 5
Integrando ambos os lados da equação:
As integrais são:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar
como uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.