Resolva o problema de valor inicial dado.
6.
6.
Passo 1
O problema pede para resolver a equação diferencial com impulso (delta de Dirac)
sujeita às condições iniciais
Informações dadas:
(força igual a um impulso em
),
,
.
A solução será buscada para todo , observando que o impulso em
pode causar um salto na derivada de
nesse instante.
A solução será buscada para todo
Passo 2
Resolvemos primeiro a equação homogênea (sem o delta) em qualquer intervalo que não contenha a descontinuidade, isto é, em
. A equação homogênea é
Método: formar o polinômio característico
, cujas raízes são
. Isso indica solução oscilatória da forma
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Aqui
e
são constantes reais;
e
são soluções independentes porque as raízes são complexas conjugadas.
Aplicando as condições em
:
logo
.
Derivando a solução geral:
Em
:
logo
.
Portanto, para
(à esquerda do impulso),
e sua derivada é
Passo 3
Agora tratamos o efeito do termo
. Propriedade chave do delta: se integrarmos a equação numa vizinhança pequena de
, o termo com
contribui com
, enquanto o termo
dá contribuição nula quando o intervalo tende a zero. Faça a integral entre
e
:
O primeiro termo dá o salto da derivada:
O segundo termo tende a zero quando
. O lado direito é
. Portanto obtemos a condição de salto
Além disso,
é contínua em
(o delta não causa salto em
, apenas na derivada).
Passo 4
Calcule os valores imediatamente antes do impulso (
) usando a solução obtida no Passo 2:
porque
.
A derivada à esquerda vale
Pela condição de salto do Passo 3,
Assim, as condições imediatamente após o impulso (usadas como “condições iniciais” para o ramo
) são
Passo 5
Para
a equação volta a ser homogênea:
com solução geral
Impondo as condições em
:
primeira condição,
primeira condição,
Segunda condição: derivada geral
Em
:
logo
.
Portanto, para
,
Passo 6
Juntando os ramos e lembrando que
Uma forma compacta usando a função degrau de Heaviside
e soma o termo
quando
, refletindo o impulso que aumentou a derivada em
.]