Resolva o problema de valor inicial dado.
6. y^{\prime \prime}+4 y=\delta(t-4 \pi) ; \quad y(0)=1 / 2, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial com impulso (delta de Dirac)
y'' + 4y = \delta(t-4\pi),
sujeita às condições iniciais
y(0)=\tfrac{1}{2},\qquad y'(0)=0.
Informações dadas:
\;y''+4y=\delta(t-4\pi) (força igual a um impulso em t=4\pi),
\;y(0)=\tfrac{1}{2},
\;y'(0)=0.
A solução será buscada para todo t, observando que o impulso em t=4\pi pode causar um salto na derivada de y nesse instante.

Passo 2

Resolvemos primeiro a equação homogênea (sem o delta) em qualquer intervalo que não contenha a descontinuidade, isto é, em 0\le t<4\pi. A equação homogênea é
y''+4y=0.
Método: formar o polinômio característico \;r^2+4=0, cujas raízes são r=\pm 2i. Isso indica solução oscilatória da forma
y(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais. Aqui A e B são constantes reais; \cos(2t) e \sin(2t) são soluções independentes porque as raízes são complexas conjugadas.
Aplicando as condições em t=0:
y(0)=A\cos0 + B\sin0 = A = \tfrac{1}{2},
logo A=\tfrac{1}{2}.
Derivando a solução geral:
y'(t) = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t).
Em t=0:
y'(0) = -2A\cdot 0 + 2B\cdot 1 = 2B = 0,
logo B=0.
Portanto, para 0\le t<4\pi (à esquerda do impulso),
y(t)=\tfrac{1}{2}\cos(2t),
e sua derivada é
y'(t) = -\sin(2t).

Passo 3

Agora tratamos o efeito do termo \delta(t-4\pi). Propriedade chave do delta: se integrarmos a equação numa vizinhança pequena de t=4\pi, o termo com \delta contribui com 1, enquanto o termo 4y dá contribuição nula quando o intervalo tende a zero. Faça a integral entre 4\pi-\varepsilon e 4\pi+\varepsilon:
\int_{4\pi-\varepsilon}^{4\pi+\varepsilon} y''(t)\,dt + 4\int_{4\pi-\varepsilon}^{4\pi+\varepsilon} y(t)\,dt = \int_{4\pi-\varepsilon}^{4\pi+\varepsilon} \delta(t-4\pi)\,dt.
O primeiro termo dá o salto da derivada:
[y']_{4\pi^-}^{4\pi^+} \equiv y'(4\pi^+)-y'(4\pi^-).
O segundo termo tende a zero quando \varepsilon\to0. O lado direito é 1. Portanto obtemos a condição de salto
y'(4\pi^+)-y'(4\pi^-)=1.
Além disso, y é contínua em t=4\pi (o delta não causa salto em y, apenas na derivada).

Passo 4

Calcule os valores imediatamente antes do impulso ( 4\pi^-) usando a solução obtida no Passo 2:
y(4\pi^-)=\tfrac{1}{2}\cos(2\cdot 4\pi)=\tfrac{1}{2}\cos(8\pi)=\tfrac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{1}{2},
porque \cos(8\pi)=1.
A derivada à esquerda vale
y'(4\pi^-)= -\sin(2\cdot 4\pi) = -\sin(8\pi)=0.
Pela condição de salto do Passo 3,
y'(4\pi^+)=y'(4\pi^-)+1 = 0+1 = 1.
Assim, as condições imediatamente após o impulso (usadas como “condições iniciais” para o ramo t>4\pi) são
y(4\pi)=\tfrac{1}{2},\qquad y'(4\pi)=1.

Passo 5

Para t>4\pi a equação volta a ser homogênea:
y''+4y=0,
com solução geral
y(t)=C\cos(2t)+D\sin(2t).
Impondo as condições em t=4\pi:
primeira condição,
y(4\pi)=C\cos(8\pi)+D\sin(8\pi)=C\cdot 1 + D\cdot 0 = C = \tfrac{1}{2}.
Segunda condição: derivada geral
y'(t) = -2C\sin(2t)+2D\cos(2t).
Em t=4\pi:
y'(4\pi) = -2C\sin(8\pi)+2D\cos(8\pi) = 0 + 2D\cdot 1 = 2D = 1,
logo D=\tfrac{1}{2}.
Portanto, para t>4\pi,
y(t)=\tfrac{1}{2}\cos(2t)+\tfrac{1}{2}\sin(2t).

Passo 6

Juntando os ramos e lembrando que y\) é contínua em \(t=4\pi\), a solução para todo \(t\ge 0\) é a seguinte função por partes: \[y(t)=\begin{cases} \tfrac{1}{2}\cos(2t), & 0\le t<4\pi,\\[6pt] \tfrac{1}{2}\cos(2t)+\tfrac{1}{2}\sin(2t), & t\ge 4\pi. \end{cases}
Uma forma compacta usando a função degrau de Heaviside \,H(t-4\pi)\,\] é \[y(t)=\tfrac{1}{2}\cos(2t)+H(t-4\pi)\,\tfrac{1}{2}\sin(2t).\] Essa expressão dá exatamente o ramo esquerdo quando \(t<4\pi e soma o termo \tfrac{1}{2}\sin(2t) quando t>4\pi, refletindo o impulso que aumentou a derivada em 1.]

Resposta

y(t)=\begin{cases} \tfrac{1}{2}\cos(2t), & 0\le t<4\pi,\\[6pt] \tfrac{1}{2}\cos(2t)+\tfrac{1}{2}\sin(2t), & t\ge 4\pi. \end{cases}]

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