Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo (I) sobre o qual a solução está definida.
\frac{d y}{d x} = x+5 y, y(0)=3

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial. Mais precisamente:
  • Equação diferencial: \dfrac{dy}{dx}=x+5y.
  • Condição inicial: y(0)=3.
    O que o problema pede:
  • Encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.
  • Determinar o maior intervalo I em que essa solução está definida.

Passo 2

Reescrever a equação em forma linear padrão. A equação dada pode ser colocada na forma
\frac{dy}{dx}-5y=x.
Aqui a incógnita é y=y(x). Esta forma é útil porque é uma equação linear de primeira ordem do tipo
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),
com p(x)=-5 e q(x)=x. Vou usar o método do fator integrante (integrating factor) para resolver.

Passo 3

Explicar o fator integrante. Para uma equação linear \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x), o fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Multiplicar a equação por \mu(x) transforma o lado esquerdo na derivada do produto \mu(x)y(x), isto facilita integrar diretamente. No nosso caso p(x)=-5, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int -5\,dx\right)=\exp(-5x)=e^{-5x}.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=e^{-5x}. Fazendo isso obtemos
e^{-5x}\frac{dy}{dx}-5e^{-5x}y = x e^{-5x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{-5x}y. Ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-5x}y\bigr)=x e^{-5x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Temos
e^{-5x}y=\int x e^{-5x}\,dx + C,
onde C é constante de integração. Agora preciso calcular a integral \int x e^{-5x}\,dx. Vou fazer isso por integração por partes.

Passo 6

Integração por partes da integral \int x e^{-5x}\,dx. Tomo
  • u=x então du=dx.
  • dv=e^{-5x}dx então v=\int e^{-5x}dx=-\tfrac{1}{5}e^{-5x}.
    Aplicando fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du,
\int x e^{-5x}\,dx = x\left(-\tfrac{1}{5}e^{-5x}\right) - \int \left(-\tfrac{1}{5}e^{-5x}\right)dx.
Isso dá
\int x e^{-5x}\,dx = -\tfrac{x}{5}e^{-5x} + \tfrac{1}{5}\int e^{-5x}dx.
Calcule a última integral:
\int e^{-5x}dx = -\tfrac{1}{5}e^{-5x}.
Portanto
\int x e^{-5x}\,dx = -\tfrac{x}{5}e^{-5x} + \tfrac{1}{5}\left(-\tfrac{1}{5}e^{-5x}\right) = -\left(\tfrac{x}{5}+\tfrac{1}{25}\right)e^{-5x}.

Passo 7

Voltar à expressão para e^{-5x}y. Substituindo a integral encontrada,
e^{-5x}y = -\left(\tfrac{x}{5}+\tfrac{1}{25}\right)e^{-5x} + C.
Agora multiplicar ambos os lados por e^{5x} para isolar y:
y = -\left(\tfrac{x}{5}+\tfrac{1}{25}\right) + C e^{5x}.
Podemos escrever de forma mais direta:
y(x) = C e^{5x} - \tfrac{x}{5} - \tfrac{1}{25}.

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(0)=3 para determinar C. Substituindo x=0 na expressão:
y(0) = C e^{0} - \tfrac{0}{5} - \tfrac{1}{25} = C - \tfrac{1}{25}.
Como y(0)=3, segue
C - \tfrac{1}{25} = 3 \quad\Rightarrow\quad C = 3 + \tfrac{1}{25} = \tfrac{75}{25} + \tfrac{1}{25} = \tfrac{76}{25}.

Passo 9

Substituir C=\tfrac{76}{25} na solução geral. Assim a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\tfrac{76}{25}e^{5x}-\tfrac{x}{5}-\tfrac{1}{25}.

Passo 10

Determinar o maior intervalo I onde a solução está definida. A equação original tem membro direito x+5y, que é uma função polinomial em x e linear em y; essa função é contínua para todo x\in\mathbb{R} e todo y\in\mathbb{R}. Pelo teorema de existência e unicidade (ou pelo fato de que a solução explícita usa e^{5x}, bem definida para todo x), a solução existe e é única em todo o eixo real. Portanto o maior intervalo de definição é
I = (-\infty,\infty).

Resposta

y(x)=\tfrac{76}{25}e^{5x}-\tfrac{x}{5}-\tfrac{1}{25}
I=(-\infty,\infty)

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