Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo (I) sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado nos dá um problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial. Mais precisamente:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que o problema pede: - Encontrar a solução
que satisfaz a equação e a condição inicial. - Determinar o maior intervalo
em que essa solução está definida.
Passo 2
Reescrever a equação em forma linear padrão. A equação dada pode ser colocada na forma
Aqui a incógnita é
. Esta forma é útil porque é uma equação linear de primeira ordem do tipo
com
e
. Vou usar o método do fator integrante (integrating factor) para resolver.
Passo 3
Explicar o fator integrante. Para uma equação linear
, o fator integrante
é definido por
Multiplicar a equação por
transforma o lado esquerdo na derivada do produto
, isto facilita integrar diretamente. No nosso caso
, então
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por
. Fazendo isso obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Ou seja,
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Temos
onde
é constante de integração. Agora preciso calcular a integral
. Vou fazer isso por integração por partes.
Passo 6
Integração por partes da integral
. Tomo
-
então . -
então .
Aplicando fórmula,
Isso dá
Calcule a última integral:
Portanto
Passo 7
Voltar à expressão para
. Substituindo a integral encontrada,
Agora multiplicar ambos os lados por
para isolar
:
Podemos escrever de forma mais direta:
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na expressão:
Como
, segue
Passo 9
Substituir
na solução geral. Assim a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
Passo 10
Determinar o maior intervalo
onde a solução está definida. A equação original tem membro direito
, que é uma função polinomial em
e linear em
; essa função é contínua para todo
e todo
. Pelo teorema de existência e unicidade (ou pelo fato de que a solução explícita usa
, bem definida para todo
), a solução existe e é única em todo o eixo real. Portanto o maior intervalo de definição é