Resolva o problema de valor inicial dado pelo método dos coeficientes indeterminados. X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right) X+\binom{3}{3} sujeito a condição X(0)=\binom{-4}{5}
Passo 1
O problema é resolver o sistema linear não homogêneo
X' = A\,X + b,
com
A = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\[6pt]3 & 4\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}3 \\[3pt]3\end{pmatrix},
sujeito a X(0)=\bigl(-4,\,5\bigr)^T.
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral do sistema homogêneo X'=AX e depois uma solução particular constante de X'=AX+b. Finalmente impomos a condição inicial para determinar as constantes livres.]
Passo 2
Para a parte homogênea X'=AX buscamos autovalores e autovetores de A.
O polinômio característico é
Procuramos uma solução particular constante \,X_p=\bigl(a,b\bigr)^T\). Como \(X_p'=0\), deve valer
\[A\,X_p + b = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -\,a + 2\,b + 3 = 0,\\[3pt] 3\,a + 4\,b + 3 = 0. \end{cases}
Resolvendo, da primeira equação (a = 3 + 2b]. Substituindo na segunda: 3(3+2b)+4b = -3 \;\Longrightarrow\; 10b = -12 \;\Longrightarrow\; b = -\tfrac{6}{5},
a = 3 + 2\bigl(-\tfrac{6}{5}\bigr) = \tfrac{3}{5}.