Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral do sistema linear não homogêneo dado.
\begin{aligned} & \frac{d x}{d t}=2 x+3 y-7 \\\ & \frac{d y}{d t}=-x-2 y+5 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear não homogêneo
\begin{cases} \frac{dx}{dt}=2x+3y-7,\\\ \frac{dy}{dt}=-x-2y+5, \end{cases}
e pede a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, vamos achar primeiro a solução do sistema homogêneo associado e depois uma solução particular constante.

Passo 2

Resolvendo o sistema homogêneo \mathbf{x}'=A\mathbf{x}, onde
A=\begin{pmatrix}2 & 3\\\ -1 & -2\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}2-\lambda & 3\\\ -1 & -2-\lambda\end{vmatrix} =(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-3)=\lambda^2-1=0,
logo \lambda_1=1 e \lambda_2=-1.
Para \lambda_1=1, resolvemos
(A-I)v=0\;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}1 & 3\\\ -1 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0
que dá x+3y=0. Escolhendo y=1, temos v_1=(-3,1)^T.
Para \lambda_2=-1, resolvemos
(A+I)v=0\;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}3 & 3\\\ -1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0
que dá x+y=0. Escolhendo y=1, obtemos v_2=(-1,1)^T.
Assim, a solução homogênea é
\mathbf{x}_h(t) = C_1\begin{pmatrix}-3\\\ 1\end{pmatrix}e^{t} + C_2\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix}e^{-t}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular constante \mathbf{x}_p=(a,b)^T\). Como \(\mathbf{x}_p'=\mathbf{0}\), impõe-se \[A\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-7\\\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
isto é,
\begin{cases} 2a+3b-7=0,\\\\ -\,a-2b+5=0. \end{cases}
Reescrevendo,
\begin{cases} 2a+3b=7,\\\ a+2b=5, \end{cases}
daí b=3\] e \(a=-1. Logo
\mathbf{x}_p=\begin{pmatrix}-1\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 4

A solução geral do sistema não homogêneo é a soma da parte homogênea com a particular:
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} = C_1\begin{pmatrix}-3\\\ 1\end{pmatrix}e^{t} + C_2\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix}e^{-t} +\begin{pmatrix}-1\\\ 3\end{pmatrix}.

Resposta

x(t)=-3C_1e^{t}-C_2e^{-t}-1,\qquad y(t)=C_1e^{t}+C_2e^{-t}+3.

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