Calcule a integral.
\int \operatorname{tg}^{4} x \operatorname{sec} ^{6} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \tan^{4}x \,\operatorname{sec}^{6}x\,dx.
O conteúdo envolvido são integrais de potências de funções trigonométricas. Vamos usar a substituição em que reconhecemos um fator \operatorname{sec}^{2}x\,dx que sugere u=\tan x.

Passo 2

Reescrevemos o integrando de forma a juntar um \operatorname{sec}^{2}x\,dx para a substituição:
\tan^{4}x\,\operatorname{sec}^{6}x =\tan^{4}x\,\operatorname{sec}^{4}x\;\operatorname{sec}^{2}x =\tan^{4}x\,(1+\tan^{2}x)^{2}\;\operatorname{sec}^{2}x,
pois \operatorname{sec}^{4}x=(\operatorname{sec}^{2}x)^{2}=(1+\tan^{2}x)^{2}.

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\tan x, \quad du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Então a integral em x vira uma integral em u:
\int \tan^{4}x\,(1+\tan^{2}x)^{2}\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx =\int u^{4}\,(1+u^{2})^{2}\,du.

Passo 4

Expandimos o polinômio (1+u^{2})^{2} e multiplicamos por u^{4}:
(1+u^{2})^{2} =1+2u^{2}+u^{4},
portanto
u^{4}(1+u^{2})^{2} =u^{4}+2u^{6}+u^{8}.
Logo a integral fica
\int \bigl(u^{4}+2u^{6}+u^{8}\bigr)\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int u^{4}\,du=\frac{u^{5}}{5},\quad \int 2u^{6}\,du=2\cdot\frac{u^{7}}{7}=\frac{2u^{7}}{7},\quad \int u^{8}\,du=\frac{u^{9}}{9}.
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos
\frac{u^{5}}{5}+\frac{2u^{7}}{7}+\frac{u^{9}}{9}+C.

Passo 6

Voltando à variável x pela substituição u=\tan x, a primitiva é
\frac{\tan^{5}x}{5}+\frac{2\tan^{7}x}{7}+\frac{\tan^{9}x}{9}+C.

Resposta

\int \tan^{4}x\,\operatorname{sec}^{6}x\,dx =\frac{\tan^{5}x}{5}+\frac{2\tan^{7}x}{7}+\frac{\tan^{9}x}{9}+C.

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