Resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
z^{\prime \prime}+5 z^{\prime}-6 z=21 e^{t-1} ; \quad z(1)=-1, \quad z^{\prime}(1)=9

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
z''(t)+5z'(t)-6z(t)=21e^{t-1}, \qquad z(1)=-1,\qquad z'(1)=9.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
  • A condição inicial é dada em t=1 (não em t=0).
  • O termo fonte é 21e^{t-1}.
    O que será obtido: a solução z(t) que satisfaz a equação diferencial para t na vizinhança de 1 e as condições iniciais dadas.

Passo 2

Motivação para uma mudança de variável antes de aplicar Laplace: a transformada de Laplace costuma usar condições iniciais em t=0. Como as condições dadas são em t=1, vamos deslocar o tempo para trabalhar com condições em 0. Defino a função
y(t)=z(t+1).
Com essa definição temos as equivalências úteis:
y(0)=z(1)=-1,\qquad y'(0)=z'(1)=9.
Além disso, derivadas se deslocam de forma direta:
y'(t)=z'(t+1),\qquad y''(t)=z''(t+1).

Passo 3

Reescrevo a equação original em termos de y(t). Substituindo t\mapsto t+1 na EDO original (ou avaliando a EDO em t+1) obtemos:
y''(t)+5y'(t)-6y(t)=21e^{(t+1)-1}=21e^{t}.
Portanto o problema transformado é
y''(t)+5y'(t)-6y(t)=21e^{t},\qquad y(0)=-1,\qquad y'(0)=9.
Agora já está pronto para aplicar a transformada de Laplace com condições em 0.

Passo 4

Lembrete das fórmulas de transformada de Laplace que vamos usar (explico cada termo):
  • Definição: \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt.
  • Transformada das derivadas (são fundamentais pois incorporam as condições iniciais): \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0).
  • Transformada da função exponencial: \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a} para \operatorname{Re}(s)>a.
    Vamos aplicar essas fórmulas à EDO transformada.

Passo 5

Aplicando \mathcal{L} a ambos os lados de
y''+5y'-6y=21e^{t}
obtemos, usando y(0)=-1 e y'(0)=9,
\big(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)\big)+5\big(sY(s)-y(0)\big)-6Y(s)=\frac{21}{s-1}.
Agora substituo os valores de y(0) e y'(0):
\big(s^{2}Y(s)-s(-1)-9\big)+5\big(sY(s)-(-1)\big)-6Y(s)=\frac{21}{s-1}.

Passo 6

Faço as contas algébricas para isolar Y(s). Expandindo e agrupando termos:
s^{2}Y(s)+s-9 +5sY(s)+5 -6Y(s)=\frac{21}{s-1}.
Agrupando os termos que multiplicam Y(s) e os termos constantes:
\big(s^{2}+5s-6\big)Y(s) + (s-9+5)=\frac{21}{s-1}.
Ou seja
\big(s^{2}+5s-6\big)Y(s)+(s-4)=\frac{21}{s-1}.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{\dfrac{21}{s-1}-(s-4)}{s^{2}+5s-6}.

Passo 7

Simplifico a expressão de Y(s). Primeiro observo que
s^{2}+5s-6=(s-1)(s+6).
Coloco tudo sobre um único denominador:
Y(s)=\frac{21-(s-4)(s-1)}{(s-1)\big(s^{2}+5s-6\big)} =\frac{-s^{2}+5s+17}{(s-1)^{2}(s+6)},
porque (s-1)(s^{2}+5s-6)=(s-1)^2(s+6). Agora faço decomposição em frações parciais no formato
\frac{-s^{2}+5s+17}{(s-1)^{2}(s+6)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{(s-1)^{2}}+\frac{C}{s+6}.

Passo 8

Determino A,B,C\). Multiplicando por \((s-1)^{2}(s+6)\) e comparando coeficientes: \[-s^{2}+5s+17 = A(s-1)(s+6)+B(s+6)+C(s-1)^{2}.
Expansão e coleta de termos dá o sistema
\begin{cases} A+C=-1,\\[4pt] 5A+B-2C=5,\\[4pt] -6A+6B+C=17. \end{cases}
Resolvendo (faço passo a passo): da primeira equação C=-1-A\]. Substituo na segunda: \[5A+B-2(-1-A)=5 \Rightarrow 7A+B=3 \Rightarrow B=3-7A.\] Substituo \(B e C na terceira:
-6A+6(3-7A)+(-1-A)=17.
Isso dá
-6A+18-42A-1-A=17 \Rightarrow -49A+17=17 \Rightarrow A=0.
Logo C=-1 e B=3. Assim a decomposição é
Y(s)=\frac{3}{(s-1)^{2}}-\frac{1}{s+6}.]

Passo 9

Faço a transformada inversa termo a termo. Uso as transformadas conhecidas:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s-a)^{2}}\right\}=t e^{at}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+b}\right\}=e^{-bt} (aqui com b=6).
    Portanto
y(t)=3\cdot t e^{t} - e^{-6t}.
Lembro da relação entre y e z: y(t)=z(t+1). Para voltar à variável original t (do enunciado) uso t_{\text{original}}=t+1 ou, de forma direta,
z(t)=y(t-1).
Substituindo y obtemos a solução final em termos de t (com as condições iniciais em t=1):
z(t)=3(t-1)e^{\,t-1}-e^{-6(t-1)}.

Passo 10

Verificação rápida das condições iniciais (cheque):
  • Em t=1: z(1)=3\cdot 0\cdot e^{0}-e^{0}=-1 confere.
  • Derivando y(t): y'(t)=3(1+t)e^{t}+6e^{-6t}, então y'(0)=3+6=9 e isso corresponde a z'(1). A solução satisfaz as condições iniciais fornecidas.

Resposta

z(t)=3(t-1)e^{\,t-1}-e^{-6(t-1)}

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