Resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace. z^{\prime \prime}+5 z^{\prime}-6 z=21 e^{t-1} ; \quad z(1)=-1, \quad z^{\prime}(1)=9
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
É uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
A condição inicial é dada em t=1 (não em t=0).
O termo fonte é 21e^{t-1}.
O que será obtido: a solução z(t) que satisfaz a equação diferencial para t na vizinhança de 1 e as condições iniciais dadas.
Passo 2
Motivação para uma mudança de variável antes de aplicar Laplace: a transformada de Laplace costuma usar condições iniciais em t=0. Como as condições dadas são em t=1, vamos deslocar o tempo para trabalhar com condições em 0. Defino a função
y(t)=z(t+1).
Com essa definição temos as equivalências úteis:
y(0)=z(1)=-1,\qquad y'(0)=z'(1)=9.
Além disso, derivadas se deslocam de forma direta:
y'(t)=z'(t+1),\qquad y''(t)=z''(t+1).
Passo 3
Reescrevo a equação original em termos de y(t). Substituindo t\mapsto t+1 na EDO original (ou avaliando a EDO em t+1) obtemos:
Transformada das derivadas (são fundamentais pois incorporam as condições iniciais):\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0).
Transformada da função exponencial: \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a} para \operatorname{Re}(s)>a.
Vamos aplicar essas fórmulas à EDO transformada.
Resolvendo (faço passo a passo): da primeira equação C=-1-A\]. Substituo na segunda:
\[5A+B-2(-1-A)=5 \Rightarrow 7A+B=3 \Rightarrow B=3-7A.\]
Substituo \(B e C na terceira: