Determine a transformada de Laplace da função dada usando a tabela de transformadas de Laplace e as propriedades de Transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado dá a função temporal
(onde
) e pede para determinar a transformada de Laplace dessa função usando a tabela de transformadas e propriedades.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Os números envolvidos são
e . - Deve-se usar tabela/propriedades da transformada de Laplace para encontrar
.
Passo 2
Vamos simplificar o produto trigonométrico usando uma identidade de soma e diferença de ângulos. A identidade útil é:
Explicando rapidamente de onde vem: somando as fórmulas
e
obtém-se
, e daí a identidade acima. Esta é uma técnica padrão para transformar produto de funções trigonométricas em soma, o que facilita aplicar linearidade da transformada.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
obtemos:
Isso é
Como
, fica
Passo 4
Agora recordamos a definição básica e uma propriedade útil da transformada de Laplace.
Definição:
desde que a integral convirja.
Propriedade de linearidade:
Entrada da tabela (que também pode ser derivada pela integral): para
e
,
(Se quiser ver uma derivação rápida, pode-se calcular
por partes duas vezes ou usar a parte imaginária de
.)
Passo 5
Usando linearidade da transformada e a decomposição do Passo 3:
Passo 6
Aplicando a fórmula da tabela
aos dois termos:
Portanto
Passo 7
Opcionalmente, se quiser uma única fração simplificada, faça o cálculo:
Ambas as formas estão corretas; a primeira é muitas vezes mais clara e direta.