Determine a transformada de Laplace da função dada usando a tabela de transformadas de Laplace e as propriedades de Transformada de Laplace.
\operatorname{sen}(2 t) \cos (5 t)

Passo 1

O enunciado dá a função temporal \operatorname{sen}(2t)\cos(5t) (onde t\ge 0) e pede para determinar a transformada de Laplace dessa função usando a tabela de transformadas e propriedades.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \operatorname{sen}(2t)\cos(5t).
  • Os números envolvidos são 2 e 5.
  • Deve-se usar tabela/propriedades da transformada de Laplace para encontrar \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(2t)\cos(5t)\}(s).

Passo 2

Vamos simplificar o produto trigonométrico usando uma identidade de soma e diferença de ângulos. A identidade útil é:
\sin x\cos y = \tfrac{1}{2}\bigl(\sin(x+y)+\sin(x-y)\bigr).
Explicando rapidamente de onde vem: somando as fórmulas
\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y
e
\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y
obtém-se \sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin x\cos y, e daí a identidade acima. Esta é uma técnica padrão para transformar produto de funções trigonométricas em soma, o que facilita aplicar linearidade da transformada.

Passo 3

Aplicando a identidade com x=2t e y=5t obtemos:
\sin(2t)\cos(5t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin((2+5)t)+\sin((2-5)t)\bigr).
Isso é
\sin(2t)\cos(5t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(7t)+\sin(-3t)\bigr).
Como \sin(-3t)=-\sin(3t), fica
\sin(2t)\cos(5t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(7t)-\sin(3t)\bigr).

Passo 4

Agora recordamos a definição básica e uma propriedade útil da transformada de Laplace.
Definição:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
desde que a integral convirja.
Propriedade de linearidade:
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
Entrada da tabela (que também pode ser derivada pela integral): para a>0 e \operatorname{Re}(s)>0,
\mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
(Se quiser ver uma derivação rápida, pode-se calcular \int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt por partes duas vezes ou usar a parte imaginária de \int_{0}^{\infty} e^{-(s-ia)t}\,dt.)

Passo 5

Usando linearidade da transformada e a decomposição do Passo 3:
\mathcal{L}\{\sin(2t)\cos(5t)\}(s) =\tfrac{1}{2}\Bigl(\mathcal{L}\{\sin(7t)\}(s)-\mathcal{L}\{\sin(3t)\}(s)\Bigr).

Passo 6

Aplicando a fórmula da tabela \mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}} aos dois termos:
\mathcal{L}\{\sin(7t)\}(s)=\frac{7}{s^{2}+7^{2}}=\frac{7}{s^{2}+49},
\mathcal{L}\{\sin(3t)\}(s)=\frac{3}{s^{2}+3^{2}}=\frac{3}{s^{2}+9}.
Portanto
\mathcal{L}\{\sin(2t)\cos(5t)\}(s) =\tfrac{1}{2}\left(\frac{7}{s^{2}+49}-\frac{3}{s^{2}+9}\right).

Passo 7

Opcionalmente, se quiser uma única fração simplificada, faça o cálculo:
\tfrac{1}{2}\left(\frac{7}{s^{2}+49}-\frac{3}{s^{2}+9}\right) =\frac{2s^{2}-42}{(s^{2}+49)(s^{2}+9)}.
Ambas as formas estão corretas; a primeira é muitas vezes mais clara e direta.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\sin(2t)\cos(5t)\}(s)=\tfrac{1}{2}\left(\dfrac{7}{s^{2}+49}-\dfrac{3}{s^{2}+9}\right)

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