Resolva o problema de valor inicial dado.
(y d x+x(\ln x-\ln y-1) d y=0, \quad y(1)=e)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial em forma de diferencial total
y,dx + xl(ln x - ln y - 1r),dy = 0
com condição inicial y(1)=e. Vamos resolver reconhecendo que é conveniente escrever em termos de d(ln x) e d(ln y).

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x,y obtemos
dxx + l(ln x - ln y - 1r)dyy = 0
Agora definimos
u = ln x, t = ln y,
de modo que ,du = dxx e ,dt = dyy. A equação fica
du + l(u - t -1r),dt = 0

Passo 3

Trata-se de uma EDO linear em u(t). Reescrevendo
dudt + u = t + 1
O fator integrante é e^integral 1,dt=e^t. Multiplicando a equação por e^t resulta em
ddtl(u,e^tr) = (t+1),e^t
Integrando em relação a t:
u,e^t = integral (t+1)e^t,dt = t,e^t + C Longrightarrow u = t + C,e^-t

Passo 4

Voltando às variáveis originais
ln x = ln y + Cy Longrightarrow yl[ln x - ln yr] = C Longrightarrow yln!l(xyr) = C
Usando y(1)=e
eln!l(1/er)=ecdot(-1)=-e Longrightarrow C=-e

Passo 5

A solução implícita é
yln!l(xyr) = -,e
Para expressar y explicitamente, faça z=yx. Então y=xz e
x,zln z = e Longrightarrow z,ln z = ex Longrightarrow z = exp!l(Wl(tfracexr)r),
onde W é a função de Lambert. Logo
y(x) = x,exp!l(Wl(tfracexr)r)

Resposta

A solução geral satisfaz
yln!l(xyr) = -,e,
e, de forma explícita,
boxedy(x) = x,exp!l(Wl(tfracexr)r)

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