Resolva o problema de valor inicial dado.
(y d x+x(\ln x-\ln y-1) d y=0, \quad y(1)=e)
(y d x+x(\ln x-\ln y-1) d y=0, \quad y(1)=e)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial em forma de diferencial total
com condição inicial
. Vamos resolver reconhecendo que é conveniente escrever em termos de
e
.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Agora definimos
de modo que
e
. A equação fica
Passo 3
Trata-se de uma EDO linear em
. Reescrevendo
O fator integrante é
. Multiplicando a equação por
resulta em
Integrando em relação a
:
Passo 4
Voltando às variáveis originais
Usando
dá
Passo 5
A solução implícita é
Para expressar
explicitamente, faça
. Então
e
onde
é a função de Lambert. Logo
Resposta
A solução geral satisfaz
e, de forma explícita,