Resolva as EDOs abaixo:
(10x^2 y+12 xx^2+4)+(10x y^2) d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO a seguir. O conteúdo principal é equações diferenciais exatas, e vamos precisar organizar no formato M(x,y) + N(x,y) y’ = 0, verificar a condição de exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial psi(x,y).

Passo 2

Identificamos as funções
M(x,y) = 10x^2y + 12xx^2+4
e
N(x,y) = 10xy^2. Calculamos
partial Mpartial y = -10x^2y^2
e
partial Npartial x = -10x^2y^2,
logo a EDO é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, existe psi(x,y) tal que partial psipartial x = M. Integramos M em relação a x:
psi(x,y) = integral (10x^2y + 12xx^2+4) dx = -10xy + 6ln(x^2+4) + h(y)

Passo 4

Para determinar h(y), usamos partial psipartial y = N. Como partialpartial y(-10xy) = 10xy^2 e o termo 6ln(x^2+4) não depende de y, obtemos h'(y)=0. Logo, h(y) é constante. Assim, a solução geral implícita da EDO é dada por psi(x,y) = C.

Resposta

-10xy + 6ln(x^2+4) = C

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