Resolva o problema do valor inicial dy/dx=2x-7,y(2)=0. Assinale a alternativa que contenha essa função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que é uma equação diferencial:
com a condição
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de Equações Diferenciais, especificamente das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções e aplicar condições iniciais para encontrar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial. A equação
nos diz como a derivada de
em relação a
se comporta. Para achar a função
, precisamos integrar essa expressão.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
No lado esquerdo, a integral da derivada de
em relação a
simplesmente nos dá
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral no lado direito:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
e
na equação:
Resposta
A função que resolve o problema é: