Resolva o problema do valor inicial dy/dx=2x-7,y(2)=0. Assinale a alternativa que contenha essa função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que é uma equação diferencial: dydx = 2x - 7 com a condição y(2) = 0. Esse tipo de problema faz parte do estudo de Equações Diferenciais, especificamente das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções e aplicar condições iniciais para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial. A equação dydx = 2x - 7 nos diz como a derivada de y em relação a x se comporta. Para achar a função y(x), precisamos integrar essa expressão.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a x:
integral dydx , dx = integral (2x - 7) , dx
No lado esquerdo, a integral da derivada de y em relação a x simplesmente nos dá y:
y = integral (2x - 7) , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral no lado direito:
integral (2x - 7) , dx = integral 2x , dx - integral 7 , dx = x^2 - 7x + C
Aqui, C é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(2) = 0 para encontrar C. Substituindo x = 2 e y = 0 na equação:
0 = (2)^2 - 7(2) + C 0 = 4 - 14 + C C = 10

Resposta

A função que resolve o problema é:
y(x) = x^2 - 7x + 10

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