Resolva o problema de valor inicial.
g) y^{\prime}=\frac{2 x}{y+x^{2} y}, \t y(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' = \frac{2x}{y + x^2\,y}, \quad y(0) = -2.
O conteúdo é de equações diferenciais ordinárias separáveis. Vamos precisar reescrever a derivada de forma separável e integrar ambos os lados.

Passo 2

Observamos que y + x^2y = y\,(1 + x^2). Logo
\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{y\,(1 + x^2)}.
Reescrevendo para separar as variáveis em y de um lado e x do outro, obtemos
y\,dy = \frac{2x}{1 + x^2}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo,
\int y\,dy = \frac{y^2}{2}.
No lado direito, usamos a substituição u = 1 + x^2, du = 2x\,dx, logo
\int \frac{2x}{1 + x^2}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln\bigl(1 + x^2\bigr).
Assim a primitiva geral satisfaz
\frac{y^2}{2} = \ln\bigl(1 + x^2\bigr) + C.

Passo 4

Multiplicamos por 2 e escrevemos uma constante K = 2C:
y^2 = 2\,\ln\bigl(1 + x^2\bigr) + K.
Usamos a condição inicial y(0) = -2. Em x=0 temos \ln(1+0^2)=0 e y^2(0)=4, logo
4 = 0 + K \quad\Longrightarrow\quad K = 4.

Passo 5

Substituindo K=4, obtemos
y^2 = 2\,\ln\bigl(1 + x^2\bigr) + 4.
Extraímos a raiz quadrada para isolar y:
y(x) = \pm\sqrt{\,2\,\ln\bigl(1 + x^2\bigr) + 4\,}.

Passo 6

Como a condição inicial impõe y(0) = -2 (valor negativo), escolhemos o sinal negativo na raiz.

Resposta

y(x) = -\sqrt{\,2\,\ln\bigl(1 + x^2\bigr) + 4\,}.

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