Resolva o problema de valor inicial.
h) y^{\prime}=\frac{y^{2}}{1-2 x y^{2}}, \t y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = \frac{y^{2}}{1 - 2x\,y^{2}}, \quad y(0)=1.
É uma equação de primeira ordem em que não separamos diretamente x e y, mas podemos inverter a derivada e tratar x como função de y.

Passo 2

Escrevemos
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y'} = \frac{1 - 2x\,y^{2}}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} \;-\; 2x\,y.
Isso é uma EDO linear em x(y) na forma
\frac{dx}{dy} + 2y\,x = \frac{1}{y^{2}}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(y) = \exp\Bigl(\int 2y\,dy\Bigr) = e^{y^{2}}.
Multiplicando a equação pelo fator integrante,
e^{y^{2}}\frac{dx}{dy} + 2y\,e^{y^{2}}\,x = \frac{e^{y^{2}}}{y^{2}},
o que se reconhece como derivada do produto:
\frac{d}{dy}\bigl(x\,e^{y^{2}}\bigr) = \frac{e^{y^{2}}}{y^{2}}.

Passo 4

Integramos em y:
x\,e^{y^{2}} = \int \frac{e^{y^{2}}}{y^{2}} \,dy + C.
Para impor y(0)=1, note que quando y=1 temos x=0, de modo que
0 \cdot e^{1^{2}} = \int_{y=1}^{y=1} \frac{e^{t^{2}}}{t^{2}}\,dt + C \;\Longrightarrow\; C = 0 - 0 = 0.
Logo podemos escolher a integral em forma definida de 1 até y:
x\,e^{y^{2}} = \int_{1}^{y} \frac{e^{t^{2}}}{t^{2}}\,dt.

Passo 5

Isolando x, obtemos a solução implícita do problema de valor inicial:
x = e^{-y^{2}}\;\int_{1}^{y} \frac{e^{t^{2}}}{t^{2}}\,dt.

Resposta

x = e^{-y^{2}}\;\int_{1}^{y} \frac{e^{t^{2}}}{t^{2}}\,dt,
com a condição y(0)=1 satisfeita implicitamente.

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