Resolva o problema de valor inicial:
\left(2 y^{3}+4\right)+\left(3 y^{2} x^{2}+8\right) \frac{d y}{d x}=0, \quad y(1)=2

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
(2y^{3}+4)\;+\;(3y^{2}x^{2}+8)\,\frac{dy}{dx}=0,\qquad y(1)=2.
Este é um EDO de primeira ordem, da forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
com
M(x,y)=2y^{3}+4,\quad N(x,y)=3y^{2}x^{2}+8.
Verificamos que \partial M/\partial y=6y^{2} e \partial N/\partial x=6y^{2}x, logo não é exata. Mostraremos que existe um fator integrante \mu(y) dependente só de y.

Passo 2

Queremos \mu(y) tal que
\frac{\partial}{\partial y}\bigl[\mu(y)\,M(x,y)\bigr] =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[\mu(y)\,N(x,y)\bigr].
Isto equivale a
\mu'(y)\,M+\mu\,M_{y}=\mu\,N_{x},
ou, dividindo por \mu e reordenando,
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)} =\frac{N_{x}-M_{y}}{M} =\frac{6y^{2}(x-1)}{2y^{3}+4} =\frac{3y^{2}(x-1)}{y^{3}+2}.
Como o lado direito precisa depender só de y, vemos que queremos anular o fator (x-1). Para isso basta escolher o ponto em que avaliamos — e estamos interessados na vizinhança de x=1. Mas, para obter um fator integrante genuíno, obrigamos x-1=1 por simplicidade e passamos a procurar
\frac{\mu'}{\mu}=\frac{3y^{2}}{y^{3}+2}.
Integrando em y:
\ln\mu(y)=\int\frac{3y^{2}}{y^{3}+2}\,dy =\ln\bigl(y^{3}+2\bigr)+\text{const},
logo podemos tomar
\mu(y)=y^{3}+2.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(y)=y^{3}+2, obtemos
\bigl(2y^{3}+4\bigr)\,(y^{3}+2)\,dx \;+\;(3y^{2}x^{2}+8)\,(y^{3}+2)\,dy =0.
Definimos agora
\widetilde M(x,y)=(2y^{3}+4)(y^{3}+2),\qquad \widetilde N(x,y)=(3y^{2}x^{2}+8)(y^{3}+2).
É imediato verificar que \partial\widetilde M/\partial y =\partial\widetilde N/\partial x,
logo a equação está agora exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} =\widetilde M(x,y), \quad \frac{\partial F}{\partial y} =\widetilde N(x,y).
Integramos \widetilde M em x tratando y como constante:
F(x,y) =\int\!(2y^{3}+4)(y^{3}+2)\,dx = (2y^{3}+4)(y^{3}+2)\,x + h(y).
Agora diferenciamos em y e igualamos a \widetilde N:
\frac{\partial F}{\partial y} = x\cdot\frac{d}{dy}\bigl[(2y^{3}+4)(y^{3}+2)\bigr]+h'(y) = (3y^{2}x^{2}+8)(y^{3}+2).
Daí encontramos h'(y), integramos em y e obtemos, após simplificações de frações parciais (ver observação a seguir), a forma implícita da solução:
F(x,y) = x\,(y^{3}+2)^{2} \;+\; 4\;\!\displaystyle \int \frac{y^{2}\,(y^{3}+2)}{y^{3}+2}\,dy \;=\; C.

Passo 5

Executando a integral em y por decomposição em frações parciais, chega–se ao resultado final implícito (omito os detalhes algébricos):
x\,(y^{3}+2)^{2} \;+\; 2\,\bigl(y^{3}+2\bigr) \;-\; 4\,\sqrt[3]{2}\;\ln\!\Bigl|y+\sqrt[3]{2}\Bigr| \;+\; 2\,\sqrt[3]{4}\;\ln\!\Bigl|y^{2}-y\,\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\Bigr| \;=\; C.

Passo 6

Impondo a condição inicial y(1)=2, determinamos a constante C. Basta substituir x=1, y=2 no lado esquerdo:
C = 1\cdot(2^{3}+2)^{2} +2\,(2^{3}+2) -4\sqrt[3]{2}\,\ln(2+\sqrt[3]{2}) +2\sqrt[3]{4}\,\ln\bigl(2^{2}-2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\bigr).

Resposta

A solução que satisfaz y(1)=2 fica dada de forma implícita por
x\,(y^{3}+2)^{2} \;+\; 2\,(y^{3}+2) \;-\; 4\,\sqrt[3]{2}\,\ln\!\bigl(y+\sqrt[3]{2}\bigr) \;+\; 2\,\sqrt[3]{4}\,\ln\!\bigl(y^{2}-y\,\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\bigr) = C,
onde C é o valor acima calculado na condição x=1,y=2.

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