Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolvaas.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. O conteúdo é Equações Diferenciais Exatas. Para isso vamos reescrever no formato
verificar a condição
e, se exata, obter uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Reescrevendo a equação diferencial em forma de diferencial total, multiplicamos ambos os lados por
e trazemos tudo para o lado esquerdo:
Logo definimos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos
tal que
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é função a determinar.
Passo 5
Agora impomos
. Da expressão acima,
deve ser igual a
Assim
Integrando,
.
Passo 6
Substituindo
em
, obtemos
A solução geral vem de
, com
constante.