Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Isso é uma EDO de primeira ordem não‐exata a princípio. Vamos buscar uma função
cuja diferencial seja proporcional à equação dada, isto é, tentar achar um fator integrante que torne a equação exata ou reconhecer uma forma total.
Passo 2
Observe que se conseguirmos uma função
então
Note que a equação original pode ser escrita em diferencial total como
desde que multipliquemos ambos os termos da EDO original por
.
Passo 3
De fato, multiplique a equação original por
:
A função
encontrada satisfaz
Comparando, vemos que de fato
isto é, a EDO original tornada exata após multiplicar o primeiro termo por
.
Passo 4
Logo, a solução geral implícita é
onde
é constante de integração.
Passo 5
Para satisfazer a condição inicial
, substituímos
e
:
logo
.
Resposta
A solução implícita do problema de valor inicial é