Resolva o problema de valor inicial:
\left(2 y^{3}+4\right)+\left(3 y^{2} x^{2}+8\right) \frac{d y}{d x}=0, \quad y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
(2\,y^{3}+4)\;+\;(3\,y^{2}\,x^{2}+8)\,\frac{dy}{dx}=0, \quad y(1)=2.
Isso é uma EDO de primeira ordem não‐exata a princípio. Vamos buscar uma função F(x,y) cuja diferencial seja proporcional à equação dada, isto é, tentar achar um fator integrante que torne a equação exata ou reconhecer uma forma total.

Passo 2

Observe que se conseguirmos uma função
F(x,y)=x^{2}\,(y^{3}+2)\;+\;8\,y
então
\frac{\partial F}{\partial x} =2\,x\,(y^{3}+2), \quad \frac{\partial F}{\partial y} =3\,x^{2}\,y^{2}+8.
Note que a equação original pode ser escrita em diferencial total como
2\,x\,(y^{3}+2)\,dx\;+\;(3\,x^{2}\,y^{2}+8)\,dy=0
desde que multipliquemos ambos os termos da EDO original por x.

Passo 3

De fato, multiplique a equação original por x:
x\,(2\,y^{3}+4)\,dx\;+\;x\,(3\,y^{2}\,x^{2}+8)\,dy=0 \;\Longleftrightarrow\; (2\,x\,y^{3}+4\,x)\,dx\;+\;(3\,x^{3}\,y^{2}+8\,x)\,dy=0.
A função F encontrada satisfaz
dF =2\,x\,(y^{3}+2)\,dx\;+\;(3\,x^{2}\,y^{2}+8)\,dy.
Comparando, vemos que de fato
dF = x\,(2\,y^{3}+4)\,dx \;+\;(3\,x^{2}\,y^{2}+8)\,dy,
isto é, a EDO original tornada exata após multiplicar o primeiro termo por x.

Passo 4

Logo, a solução geral implícita é
F(x,y)=x^{2}\,(y^{3}+2)+8\,y=C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Para satisfazer a condição inicial y(1)=2, substituímos x=1 e y=2:
1^{2}\bigl(2^{3}+2\bigr)+8\cdot2 =1\cdot(8+2)+16 =10+16 =26,
logo C=26.

Resposta

A solução implícita do problema de valor inicial é
\boxed{x^{2}\,\bigl(y^{3}+2\bigr)+8\,y=26.}

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