Questāo 4 (30 pontos): Considere o sistema de equaçōes diferenciais lineares de la ordem nāo-homogèneo (5).
\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1}(t) \\\ \dot{x}_{2}(t) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -1 & 4 \\\\ 6 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1}(t) \\\ x_{2}(t) \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} \mathrm{e}^{2-1}-4 \\\\ 0 \end{array}\right]
Obtenha a solução completa do sistema nāo-homogêneo usando o método da diagonalização ou o mêtodo da variação dos parámetros ou o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear não-homogêneo da forma
\dot x(t)=A\,x(t)+b,
onde
A=\begin{pmatrix}-1 & 4 \\[6pt]6 & 4\end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix}\mathrm{e}-4\\[3pt]0\end{pmatrix}.
Para resolver, somamos a solução geral da parte homogênea ( x_h) com uma solução particular ( x_p).]

Passo 2

Vamos obter x_h encontrando os autovalores e autovetores de A. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 4 \\[3pt]6 & 4-\lambda\end{pmatrix} =( -1-\lambda)(4-\lambda)-24 =\lambda^2-3\lambda-28.
Resolvendo \lambda^2-3\lambda-28=0 temos
\lambda_1=7, \qquad \lambda_2=-4.
Para \lambda_1=7, (A-7I)v=0
\begin{pmatrix}-8 & 4 \\[3pt]6 & -3\end{pmatrix}v=0 \;\Rightarrow\; v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-4, (A+4I)v=0
\begin{pmatrix}3 & 4 \\[3pt]6 & 8\end{pmatrix}v=0 \;\Rightarrow\; v^{(2)}=\begin{pmatrix}-4\\\ 3\end{pmatrix}.]

Passo 3

A solução geral da parte homogênea é
x_h(t) =C_1\,\mathrm{e}^{7t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} +C_2\,\mathrm{e}^{-4t}\begin{pmatrix}-4\\\ 3\end{pmatrix},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para achar uma solução particular x_p, assumimos que ela é constante, logo \dot x_p=0 e deve satisfazer
0=A\,x_p+b \;\Longrightarrow\; A\,x_p=-\,b.

Passo 5

Escrevendo x_p=(x_{1p},x_{2p})^T\) e \(-b=((-\,\mathrm{e}+4),0)^T\), o sistema \[\begin{cases} -\,x_{1p}+4\,x_{2p}=-\,\mathrm{e}+4,\\[3pt] 6\,x_{1p}+4\,x_{2p}=0 \end{cases}
da segunda equação vem (x_{2p}=-\tfrac{3}{2}x_{1p}]. Substituindo na primeira:
-\,x_{1p}-6\,x_{1p}=-7\,x_{1p}=-\,\mathrm{e}+4 \;\Longrightarrow\; x_{1p}=\frac{\mathrm{e}-4}{7},
x_{2p}=-\tfrac{3}{2}\,\frac{\mathrm{e}-4}{7} =-\frac{3(\mathrm{e}-4)}{14}.
Logo
x_p =\begin{pmatrix}\tfrac{\mathrm{e}-4}{7}\\[4pt]-\tfrac{3(\mathrm{e}-4)}{14}\end{pmatrix}.]

Resposta

A solução completa é
x(t) =x_h(t)+x_p =C_1\,\mathrm{e}^{7t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} +C_2\,\mathrm{e}^{-4t}\begin{pmatrix}-4\\\ 3\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\tfrac{\mathrm{e}-4}{7}\\[4pt]-\tfrac{3(\mathrm{e}-4)}{14}\end{pmatrix},
com C_1,C_2 determinados pelas condições iniciais.]

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