Note que a segunda equação depende apenas de x_2 — isso acontece porque A é triangular superior. Isso facilita a resolução: podemos primeiro resolver para x_2 e depois usar essa solução para achar x_1.]
Passo 3
Explico a ideia do método que vou usar (decoupling / solução em cascata):
Quando a matriz é triangular (como aqui), as equações aparecem em cascata: a última variável pode ser resolvida isoladamente e usada nas equações anteriores.
Esse método é simples e totalmente suficiente aqui; outra opção seria usar autovalores e autovetores (que dará o mesmo resultado). Vou aplicar o método de resolução direta porque é mais elementar e rápido em prova.
Passo 4
Resolver x_2'(t)=-2x_2(t).
Este é um ODE linear de primeira ordem homogêneo com coeficiente constante. A solução geral de
y' = a y
é y(t)=C e^{at}, onde C é constante arbitrária. Aqui a=-2. Logo
x_2(t)=C_2 e^{-2t},
onde C_2 é uma constante arbitrária real.
Passo 5
Agora substituímos x_2(t) em \displaystyle x_1'(t)=x_1(t)-2x_2(t). Isso dá
x_1'(t)-x_1(t) = -2x_2(t) = -2C_2 e^{-2t}.
Esta é uma ODE linear não-homogênea de primeira ordem na forma padrão x_1' + p(t)x_1 = q(t) com p(t)=-1 e q(t)=-2C_2 e^{-2t}.
Passo 6
Vou resolver x_1'(t)-x_1(t)=-2C_2 e^{-2t} pelo fator integrante.
O fator integrante é \mu(t)=e^{\int -1\,dt}=e^{-t}.
Multiplicando ambos os lados por \mu(t) obtemos
e^{-t}x_1'(t)-e^{-t}x_1(t) = -2C_2 e^{-3t}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dt}\big(e^{-t}x_1(t)\big). Portanto
com (C_1,C_2\in\mathbb{R}] constantes arbitrárias.]
Passo 8
É interessante escrever a solução em forma vetorial e em termos de modos exponenciais (forma que aparece via autovalores/autovetores). Colocando em forma de combinação linear de vetores:
Se preferirmos escolher constantes e vetores para obter autovetores inteiros, podemos reescrever renomeando a segunda constante: tomando K_2=\tfrac{1}{3}C_2 obtemos a forma
que corresponde exatamente à decomposição em autovetores associados aos autovalores \lambda_1=1 e \lambda_2=-2. (Isto confirma que a matriz é diagonalizável e que as soluções obtidas por ambos os métodos coincidem.)]