Resolva o problema de Valor inicial (PVI): c-2 y^prime prime prime-4 y^prime prime+10 y^prime+12 y=0 y(0)=y^prime(0)=0 e y^prime prime(0)=1 e represente graficamente a solução. Explique o que diferencia a solução geral da solução do problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de Valor Inicial (PVI) juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem:
-2 y''' -4 y'' +10 y' +12 y =0
E as condições iniciais são:
y(0) =0, y'(0) =0, y''(0) =1
Pra resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos seguir os passos passo a passo para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por -2 para facilitar os cálculos:
y''' + 2 y'' -5 y' -6 y =0
Agora, a gente tem a equação na forma padrão:
y''' + 2 y'' -5 y' -6 y =0

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. Substituímos $ y $ por $ e^{rt} $ e obtemos:
y
Precisamos achar as raízes dessa equação cúbica. Vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais, que diz que possíveis raízes são fatores do termo constante divididos pelos fatores do coeficiente líder. Aqui, possíveis raízes são $ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 $.
Testando $ r =1 $:
e^rt
Testando $ r = -1 $:
r^3 + 2 r^2 -5 r -6 =0
Achamos uma raiz: $ r = -1 $.

Passo 4

Agora que sabemos que $ r = -1 $ é uma raiz, vamos fatorar a equação característica. Podemos usar a divisão sintética ou a fatoração direta. Vou mostrar rapidinho:
Dividindo $ r^3 + 2 r^2 -5 r -6 $ por $ (r +1) $, obtemos:
r = -1
Agora, resolvemos a equação quadrática $ r^2 + r -6 =0 $:
r^3 + 2 r^2 -5 r -6
Então, as raízes são:
(r +1)
Portanto, as três raízes são: $ r_1 = -1 $, $ r_2 =2 $, e $ r_3 =-3 $.

Passo 5

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para cada raiz $ r $, temos um termo na solução:
r
Aqui, $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1, C_2, C_3 $.
Primeiro, calculamos as derivadas de $ y(t) $:
C1, C2, C3
y(t)
Agora, aplicando as condições iniciais:
  1. $ y(0) =0 $:
y'(t) = -C1 e^-t + 2 C2 e^2t -3 C3 e^-3t çã
  1. $ y’(0) =0 $:
y''(t) = C1 e^-t +4 C2 e^2t +9 C3 e^-3t çã
  1. $ y’’(0) =1 $:
y(0) =0 çã
Agora, temos um sistema de equações:
C1 + C2 + C3 =0 (equação 1)
Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da equação 1:
y'(0) =0
Substituindo $ C_1 $ na equação 2:
- C1 + 2 C2 -3 C3 =0 (equação 2) çã
Agora, substituindo $ C_1 = -C_2 -C_3 $ na equação 3:
y''(0) =1 çã
Agora, temos o sistema reduzido:
C1 +4 C2 +9 C3 =1 (equação 3) çãçã
Vamos resolver a equação 4 para $ C_2 $:
C1 + C2 + C3 =0 - C1 + 2 C2 -3 C3 =0 C1 +4 C2 +9 C3 =1
Substituindo $ C_2 $ na equação 5:
C1 = -C2 -C3
Agora, encontramos $ C_3 = \frac{1}{10} $. Substituindo de volta para achar $ C_2 $:
C1
E finalmente, para $ C_1 $:
-(-C2 -C3) + 2 C2 -3 C3 =0 C2 + C3 +2 C2 -3 C3 =0 3 C2 -2 C3 =0 (equação 4)

Passo 7

Agora que temos os valores das constantes, podemos escrever a solução particular do problema de valor inicial:
y(t) = -16 e^-t + 115 e^2t + 110 e^-3t
A diferença entre a solução geral e a solução particular é que a solução geral contém todas as possíveis soluções da equação diferencial (com as constantes $ C_1, C_2, C_3 $), enquanto a solução particular é aquela que satisfaz também as condições iniciais dadas. Ou seja, a solução particular é uma “versão específica” da solução geral que atende aos requisitos do problema.

Resposta

A solução particular do problema de valor inicial é:
y(t) = -16 e^-t + 115 e^2t + 110 e^-3t
Essa função atende à equação diferencial inicial e satisfaz as condições $ y(0) =0 $, $ y’(0) =0 $ e $ y’’(0) =1 $. Além disso, a solução gráfica dessa função mostraria a combinação de exponenciais decrescentes e crescentes, refletindo o comportamento dinâmico determinado pelas raízes da equação característica.

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