Resolva o problema de Valor inicial (PVI):
e represente graficamente a solução. Explique o que diferencia a solução geral da solução do problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de Valor Inicial (PVI) juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem:
E as condições iniciais são:
Pra resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos seguir os passos passo a passo para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por -2 para facilitar os cálculos:
Agora, a gente tem a equação na forma padrão:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. Substituímos $ y $ por $ e^{rt} $ e obtemos:
Precisamos achar as raízes dessa equação cúbica. Vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais, que diz que possíveis raízes são fatores do termo constante divididos pelos fatores do coeficiente líder. Aqui, possíveis raízes são $ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 $.
Testando $ r =1 $:
Testando $ r = -1 $:
Achamos uma raiz: $ r = -1 $.
Passo 4
Agora que sabemos que $ r = -1 $ é uma raiz, vamos fatorar a equação característica. Podemos usar a divisão sintética ou a fatoração direta. Vou mostrar rapidinho:
Dividindo $ r^3 + 2 r^2 -5 r -6 $ por $ (r +1) $, obtemos:
Agora, resolvemos a equação quadrática $ r^2 + r -6 =0 $:
Então, as raízes são:
Portanto, as três raízes são: $ r_1 = -1 $, $ r_2 =2 $, e $ r_3 =-3 $.
Passo 5
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para cada raiz $ r $, temos um termo na solução:
Aqui, $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1, C_2, C_3 $.
Primeiro, calculamos as derivadas de $ y(t) $:
Agora, aplicando as condições iniciais:
- $ y(0) =0 $:
- $ y’(0) =0 $:
- $ y’’(0) =1 $:
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da equação 1:
Substituindo $ C_1 $ na equação 2:
Agora, substituindo $ C_1 = -C_2 -C_3 $ na equação 3:
Agora, temos o sistema reduzido:
Vamos resolver a equação 4 para $ C_2 $:
Substituindo $ C_2 $ na equação 5:
Agora, encontramos $ C_3 = \frac{1}{10} $. Substituindo de volta para achar $ C_2 $:
E finalmente, para $ C_1 $:
Passo 7
Agora que temos os valores das constantes, podemos escrever a solução particular do problema de valor inicial:
A diferença entre a solução geral e a solução particular é que a solução geral contém todas as possíveis soluções da equação diferencial (com as constantes $ C_1, C_2, C_3 $), enquanto a solução particular é aquela que satisfaz também as condições iniciais dadas. Ou seja, a solução particular é uma “versão específica” da solução geral que atende aos requisitos do problema.
Resposta
A solução particular do problema de valor inicial é:
Essa função atende à equação diferencial inicial e satisfaz as condições $ y(0) =0 $, $ y’(0) =0 $ e $ y’’(0) =1 $. Além disso, a solução gráfica dessa função mostraria a combinação de exponenciais decrescentes e crescentes, refletindo o comportamento dinâmico determinado pelas raízes da equação característica.