1. (2,0) Resolva o problema de valor inicial (PVI) y^{\prime}-y=2 x e^{x}, y(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y'-y=2x e^{x},\qquad y(1)=0.
Informações dadas:
\text{(i) A equação diferencial: }y'-y=2x e^{x}.çã
\text{(ii) A condição inicial: }y(1)=0.çã
Vamos a partir daqui resolver para encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem
y'+p(x)y=q(x).
Comparando com a equação dada, temos
p(x)=-1,\qquad q(x)=2x e^{x}.
Explicação didática: numa EDO linear de primeira ordem, p(x) é a função que multiplica y e q(x) é o termo independente. A técnica padrão é multiplicar por um fator integrante para transformar o lado esquerdo numa derivada total.

Passo 3

Calculamos o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Aqui p(x)=-1, logo
\mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Comentário: o fator integrante é escolhido assim porque transforma a combinação y'\!+\!p(x)y em \frac{d}{dx}(\mu y).

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por \mu(x)=e^{-x}:
e^{-x}y' - e^{-x}y = 2x.
Agora mostramos que o lado esquerdo é a derivada de um produto. Pelo produto\ de\ derivadas,
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=e^{-x}y' + (e^{-x})'y = e^{-x}y' - e^{-x}y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=2x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)\,dx=\int 2x\,dx.
O lado esquerdo integra para e^{-x}y. O lado direito é uma integral elementar:
\int 2x\,dx = x^2 + C,
onde C é constante de integração. Assim obtemos a solução geral
e^{-x}y = x^2 + C.
Isolando y,
y = e^{x}\big(x^2 + C\big).

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=0. Substituindo x=1 na solução geral:
y(1)=e^{1}\big(1^2 + C\big)=e\big(1+C\big)=0.
Como e\neq 0, concluímos 1+C=0, ou seja
C=-1.

Passo 7

Substituímos C=-1 na solução geral para obter a solução particular que satisfaz o PVI:
y = e^{x}\big(x^2 - 1\big).
Verificação rápida (útil na prova): calculando y',
y' = e^{x}(x^2-1) + e^{x}\cdot 2x = e^{x}(x^2-1+2x),
então
y'-y = e^{x}(x^2-1+2x) - e^{x}(x^2-1) = e^{x}\cdot 2x = 2x e^{x},
logo a equação é satisfeita e a condição inicial também (pois y(1)=e(1-1)=0).

Resposta

y=e^{x}\big(x^{2}-1\big)

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