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Resolva o problema de valor inicial (PVI)
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas:
Vamos a partir daqui resolver para encontrar a função
que satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem
Comparando com a equação dada, temos
Explicação didática: numa EDO linear de primeira ordem,
é a função que multiplica
e
é o termo independente. A técnica padrão é multiplicar por um fator integrante para transformar o lado esquerdo numa derivada total.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
definido por
Aqui
, logo
Comentário: o fator integrante é escolhido assim porque transforma a combinação
em
.
Passo 4
Multiplicamos a EDO original por
:
Agora mostramos que o lado esquerdo é a derivada de um produto. Pelo produto\ de\ derivadas,
Portanto a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. O lado direito é uma integral elementar:
onde
é constante de integração. Assim obtemos a solução geral
Isolando
,
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Como
, concluímos
, ou seja
Passo 7
Substituímos
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz o PVI:
Verificação rápida (útil na prova): calculando
,
então
logo a equação é satisfeita e a condição inicial também (pois
).