(2,0) Encontre uma solução particular para a equação y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=x^{3} e determine sua solução geral.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea
y'' - 4y' + 4y = x^{3}.
O que se pede:
Encontrar uma solução particular y_{p}(x) dessa equação (ou seja, uma função que satisfaça a equação dada).
Determinar a solução geral y(x) da equação (que é a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular).
Informações relevantes dadas:
\text{equação: } y'' - 4y' + 4y = x^{3}.
Passo 2
Primeiro vamos obter a solução geral da equação homogênea associada. A homogênea é
y'' - 4y' + 4y = 0.
Para resolver uma homogênea linear com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Substituímos y = e^{rx} e obtemos a equação polinomial em r:
r^{2} - 4r + 4 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática.
Passo 3
Resolvendo a característica:
r^{2} - 4r + 4 = (r-2)^{2} = 0,
logo r = 2 é raiz dupla (multiplicidade 2). Para uma raiz real r de multiplicidade 2, a solução geral da homogênea tem a forma
y_{h}(x) = \big(C_{1} + C_{2}x\big)e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Vou explicar por que: para cada raiz simples r temos e^{rx}; para multiplicidade m acrescentamos fatores x^{0},x^{1},\dots,x^{m-1} multiplicando e^{rx}. Aqui m=2, então as duas soluções independentes são e^{2x} e x e^{2x}.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) da equação completa. O membro direito é um polinômio x^{3} (grau 3). O método mais direto é o método dos coeficientes indeterminados: assumimos que y_{p} é também um polinômio de grau 3,
y_{p}(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d,
com constantes a,b,c,d desconhecidas que vamos determinar. (Regra: se o termo for P(x)e^{\alpha x} e \alpha for raiz da característica de multiplicidade s, multiplicaríamos por x^{s}. Aqui \alpha=0 e r=0 não é raiz da característica, então não precisamos multiplicar por x.)
Passo 5
Calculamos as derivadas de y_{p} para substituir na equação:
y_{p}'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c,
y_{p}''(x) = 6ax + 2b.
Vou explicar: derivada de ax^{3} é 3ax^{2}; de bx^{2} é 2bx; de cx é c; e derivada constante é zero. Segunda derivada segue derivando novamente.
Passo 6
Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação y'' - 4y' + 4y = x^{3}:
Comparando coeficientes do polinômio à esquerda com os do lado direito x^{3} (que é 1\cdot x^{3} + 0\cdot x^{2} + 0\cdot x + 0), obtemos o sistema de equações: