1. (2,0) Encontre uma solução particular para a equação y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=x^{3} e determine sua solução geral.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea
y'' - 4y' + 4y = x^{3}.
O que se pede:
  • Encontrar uma solução particular y_{p}(x) dessa equação (ou seja, uma função que satisfaça a equação dada).
  • Determinar a solução geral y(x) da equação (que é a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular).
Informações relevantes dadas:
\text{equação: } y'' - 4y' + 4y = x^{3}.çã

Passo 2

Primeiro vamos obter a solução geral da equação homogênea associada. A homogênea é
y'' - 4y' + 4y = 0.
Para resolver uma homogênea linear com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Substituímos y = e^{rx} e obtemos a equação polinomial em r:
r^{2} - 4r + 4 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática.

Passo 3

Resolvendo a característica:
r^{2} - 4r + 4 = (r-2)^{2} = 0,
logo r = 2 é raiz dupla (multiplicidade 2). Para uma raiz real r de multiplicidade 2, a solução geral da homogênea tem a forma
y_{h}(x) = \big(C_{1} + C_{2}x\big)e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Vou explicar por que: para cada raiz simples r temos e^{rx}; para multiplicidade m acrescentamos fatores x^{0},x^{1},\dots,x^{m-1} multiplicando e^{rx}. Aqui m=2, então as duas soluções independentes são e^{2x} e x e^{2x}.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) da equação completa. O membro direito é um polinômio x^{3} (grau 3). O método mais direto é o método dos coeficientes indeterminados: assumimos que y_{p} é também um polinômio de grau 3,
y_{p}(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d,
com constantes a,b,c,d desconhecidas que vamos determinar. (Regra: se o termo for P(x)e^{\alpha x} e \alpha for raiz da característica de multiplicidade s, multiplicaríamos por x^{s}. Aqui \alpha=0 e r=0 não é raiz da característica, então não precisamos multiplicar por x.)

Passo 5

Calculamos as derivadas de y_{p} para substituir na equação:
y_{p}'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c,
y_{p}''(x) = 6ax + 2b.
Vou explicar: derivada de ax^{3} é 3ax^{2}; de bx^{2} é 2bx; de cx é c; e derivada constante é zero. Segunda derivada segue derivando novamente.

Passo 6

Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação y'' - 4y' + 4y = x^{3}:
(6ax + 2b) - 4(3ax^{2} + 2bx + c) + 4(ax^{3} + bx^{2} + cx + d) = x^{3}.
Agora vamos expandir e agrupar termos por potências de x.

Passo 7

Expandindo termo a termo:
  • O termo de x^{3} vem só de 4(ax^{3}), então coeficiente de x^{3} é 4a.
  • O termo de x^{2}: de -4(3ax^{2}) vem -12a e de 4(bx^{2}) vem 4b. Soma: 4b - 12a.
  • O termo de x^{1}: de 6ax vem 6a; de -4(2bx) vem -8b; de 4(cx) vem 4c. Soma: 6a - 8b + 4c.
  • O termo constante: de 2b vem 2b; de -4c vem -4c; de 4d vem 4d. Soma: 2b - 4c + 4d.
Então a expressão resultante é
4a x^{3} + (4b - 12a) x^{2} + (6a - 8b + 4c) x + (2b - 4c + 4d) = x^{3}.

Passo 8

Comparando coeficientes do polinômio à esquerda com os do lado direito x^{3} (que é 1\cdot x^{3} + 0\cdot x^{2} + 0\cdot x + 0), obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} 4a = 1,\\[4pt] 4b - 12a = 0,\\[4pt] 6a - 8b + 4c = 0,\\[4pt] 2b - 4c + 4d = 0. \end{cases}
Agora vamos resolver passo a passo.]

Passo 9

Resolvendo para a:
4a = 1 \implies a = \frac{1}{4}.
Usando a na segunda equação:
4b - 12a = 0 \implies 4b = 12a \implies b = 3a = 3\cdot\frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
Agora a terceira equação para c:
6a - 8b + 4c = 0 \implies 4c = 8b - 6a.
Substituindo a e b:
8b = 8\cdot\frac{3}{4} = 6,\qquad 6a = 6\cdot\frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.
Então
4c = 6 - \frac{3}{2} = \frac{12 - 3}{2} = \frac{9}{2} \implies c = \frac{9}{8}.
Finalmente a quarta equação para d:
2b - 4c + 4d = 0 \implies 4d = 4c - 2b \implies d = c - \frac{b}{2}.
Substituindo b e c:
c = \frac{9}{8},\qquad \frac{b}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4} = \frac{3}{8},
logo
d = \frac{9}{8} - \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.

Passo 10

Portanto encontramos os coeficientes:
a=\frac{1}{4},\quad b=\frac{3}{4},\quad c=\frac{9}{8},\quad d=\frac{3}{4}.
A solução particular é então
y_{p}(x) = \frac{1}{4}x^{3} + \frac{3}{4}x^{2} + \frac{9}{8}x + \frac{3}{4}.

Passo 11

A solução geral da equação completa é a soma da solução geral da homogênea y_{h} com a solução particular y_{p}:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = \big(C_{1} + C_{2}x\big)e^{2x} + \left(\frac{1}{4}x^{3} + \frac{3}{4}x^{2} + \frac{9}{8}x + \frac{3}{4}\right),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se dadas).

Resposta

Solução particular:
y_{p}(x)=\frac{1}{4}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+\frac{9}{8}x+\frac{3}{4}.
Solução geral:
y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{2x}+\frac{1}{4}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+\frac{9}{8}x+\frac{3}{4}.

Exercícios relacionados