1. (1,25) Sabendo que y_{1}(x)=e^{x} e y_{2}(x)=e^{2 x} são soluções da EDO
y^{(4)}-3 y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime}-4 y=0
encontre a solução geral de (1).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de quarta ordem
y^{(4)}-3y^{\prime\prime\prime}+6y^{\prime}-4y=0
e informa que y_{1}(x)=e^{x} e y_{2}(x)=e^{2x} são soluções dessa EDO. A pergunta é: encontrar a solução geral de (1).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{(i)}\\ \text{A EDO é linear, homogênea e de coeficientes constantes.}éê
\text{(ii)}\\ y_1(x)=e^{x}\\ \text{e}\\ y_2(x)=e^{2x}\\ \text{são soluções, portanto } r=1 \text{ e } r=2 \text{ são raízes do polinômio característico.}ãçõãíôí
\text{(iii)}\\ \text{Queremos a solução geral, ou seja, uma combinação linear de quatro soluções linearmente independentes.}çãçãçõ

Passo 2

Vamos transformar a EDO em um polinômio característico usando a técnica padrão: tentar uma solução da forma y(x)=e^{rx}. Isso funciona porque derivadas de e^{rx} apenas trazem fatores de r. Calcule as derivadas:
y=e^{rx},\quad y' = r e^{rx},\quad y''=r^2 e^{rx},\quad y'''=r^3 e^{rx},\quad y^{(4)}=r^4 e^{rx}.
Substituindo na EDO e fatorando e^{rx} (que nunca é zero) obtemos o polinômio característico:
r^4 -3r^3 +0\cdot r^2 +6r -4 = 0,
ou, de forma mais curta,
r^4 -3r^3 +6r -4 = 0.
Breve explicação didática: trocar y por e^{rx} reduz a equação diferencial a um polinômio porque cada derivada multiplica e^{rx} por uma potência de r. As raízes r desse polinômio correspondem aos expoentes das soluções exponenciais e^{rx}.

Passo 3

Como o enunciado já nos deu duas soluções, sabemos que r=1 e r=2 são raízes do polinômio característico. Portanto o polinômio é divisível por (r-1)(r-2)=r^2-3r+2. Vamos dividir o polinômio por esse quadrático para achar os fatores restantes.
Polinômio original:
r^4 -3r^3 +0 r^2 +6r -4.
Fazendo a divisão por r^2-3r+2:
  1. Primeiro termo do quociente: r^2, porque r^2\cdot(r^2-3r+2)=r^4-3r^3+2r^2.
Subtraindo:
(r^4 -3r^3 +0r^2) - (r^4 -3r^3 +2r^2) = -2r^2.
Trazer os termos seguintes: resto parcial -2r^2 +6r -4.
  1. Próximo termo do quociente: -2, porque -2\cdot(r^2-3r+2) = -2r^2 +6r -4.
Subtraindo esse produto do resto parcial obtemos resto zero. Logo a divisão é exata e o quociente é r^2-2.
Portanto factorizamos:
r^4 -3r^3 +6r -4 = (r^2-3r+2)(r^2-2).

Passo 4

Agora fatoramos completamente:
r^2-3r+2=(r-1)(r-2)
e
r^2-2=0 \implies r=\pm\sqrt{2}.
Assim as quatro raízes reais e distintas do polinômio característico são
r_1=1,\quad r_2=2,\quad r_3=\sqrt{2},\quad r_4=-\sqrt{2}.
Explicação didática curta: quando o polinômio característico tem raízes reais e distintas r_i, as funções e^{r_i x} são soluções linearmente independentes da EDO. Portanto formam uma base do espaço solução.

Passo 5

Construímos a solução geral como combinação linear das quatro soluções exponenciais correspondentes às raízes:
y(x)=C_1 e^{1\cdot x} + C_2 e^{2\cdot x} + C_3 e^{\sqrt{2}\,x} + C_4 e^{-\sqrt{2}\,x},
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se houver).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{\sqrt{2}\,x}+C_{4}e^{-\sqrt{2}\,x}

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