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Sabendo que
e
são soluções da EDO
encontre a solução geral de (1).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de quarta ordem
e informa que
e
são soluções dessa EDO. A pergunta é: encontrar a solução geral de (1).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vamos transformar a EDO em um polinômio característico usando a técnica padrão: tentar uma solução da forma
. Isso funciona porque derivadas de
apenas trazem fatores de
. Calcule as derivadas:
Substituindo na EDO e fatorando
(que nunca é zero) obtemos o polinômio característico:
ou, de forma mais curta,
Breve explicação didática: trocar
por
reduz a equação diferencial a um polinômio porque cada derivada multiplica
por uma potência de
. As raízes
desse polinômio correspondem aos expoentes das soluções exponenciais
.
Passo 3
Como o enunciado já nos deu duas soluções, sabemos que
e
são raízes do polinômio característico. Portanto o polinômio é divisível por
. Vamos dividir o polinômio por esse quadrático para achar os fatores restantes.
Polinômio original:
Fazendo a divisão por
:
- Primeiro termo do quociente:
, porque .
Subtraindo:
Trazer os termos seguintes: resto parcial
.
- Próximo termo do quociente:
, porque .
Subtraindo esse produto do resto parcial obtemos resto zero. Logo a divisão é exata e o quociente é
.
Portanto factorizamos:
Passo 4
Agora fatoramos completamente:
e
Assim as quatro raízes reais e distintas do polinômio característico são
Explicação didática curta: quando o polinômio característico tem raízes reais e distintas
, as funções
são soluções linearmente independentes da EDO. Portanto formam uma base do espaço solução.
Passo 5
Construímos a solução geral como combinação linear das quatro soluções exponenciais correspondentes às raízes:
onde
são constantes arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se houver).