Resolva o problema de valor inicial:
t^{-1} \frac{d y}{d t}=2 \cos ^{2} y, \quad y(0)=\pi / 4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t^{-1}\frac{dy}{dt}=2\cos^{2}y
e a condição inicial y(0)=\pi/4.
O que se pede: encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial (quando possível) e a condição inicial dada.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A equação, tal como escrita, envolve t^{-1}, portanto está escrita de forma aparente apenas para t\neq 0.
  • A condição inicial é no ponto t=0, que é um ponto singular da forma original da equação.
  • Ainda assim, pode-se tentar reescrever a equação de maneira equivalente para investigar se existe e é única uma solução que passe por t=0.

Passo 2

Manipulação algébrica e observação sobre o ponto t=0.
Multiplicando ambos os lados por t (válido para t\neq 0) obtemos a forma
\frac{dy}{dt}=2t\cos^{2}y.
Esta forma é uma equação diferencial ordinária com o lado direito f(t,y)=2t\cos^{2}y, que é contínuo em (t,y) para todo t\in\mathbb{R} e y\in\mathbb{R}. Assim, mesmo que a forma original com t^{-1} seja ambígua em t=0, a equação equivalente \dfrac{dy}{dt}=2t\cos^{2}y está bem definida em t=0. Isso nos permite procurar uma solução que satisfaça a condição inicial em t=0. Mais: como f é suave em y (derivada parcial em y é contínua), existe e é única solução do problema de valor inicial passando por t=0.

Passo 3

Identificação do método: equação separável.
A equação reescrita
\frac{dy}{dt}=2t\cos^{2}y
é separável: todas as quantidades que dependem de y podem ser colocadas num lado e as que dependem de t no outro. Faço isso dividindo por \cos^{2}y (isso é localmente legítimo; note que \cos^{2}y=0 se y=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, mas a condição inicial y(0)=\tfrac{\pi}{4} evita esse problema numa vizinhança de t=0). Obtenho
\frac{1}{\cos^{2}y}\,dy = 2t\,dt.
Lembrete útil: \dfrac{1}{\cos^{2}y}=\operatorname{sec}^{2}y e \dfrac{d}{dy}(\tan y)=\operatorname{sec}^{2}y. Isso facilita a integração.

Passo 4

Integração das duas parcelas.
Integro ambos os lados:
\int \operatorname{sec}^{2}y\,dy = \int 2t\,dt.
Usando as primitivadas conhecidas:
\int \operatorname{sec}^{2}y\,dy = \tan y + C_1, \qquad \int 2t\,dt = t^{2}+C_2.
Combinando as constantes (colocando C=C_2-C_1) obtemos a relação explícita
\tan y = t^{2} + C.

Passo 5

Aplicação da condição inicial para encontrar a constante.
Usando y(0)=\pi/4 temos
\tan\bigl(y(0)\bigr)=\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1.
Na relação \tan y = t^{2}+C com t=0 isso dá 1 = 0 + C. Portanto C=1. Logo
\tan y = t^{2}+1.
Agora isolamos y: a função inversa de \tan (no ramo principal) é \arctan. Como a condição inicial y(0)=\tfrac{\pi}{4} pertence ao ramo principal \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr), escolhemos esse ramo e obtemos
y(t)=\arctan\bigl(t^{2}+1\bigr).
Observação sobre outras soluções formais: em geral \tan y = t^{2}+1 permite adicionar múltiplos de \pi a y, mas a condição inicial fixa o ramo (ou seja, o inteiro k é 0).

Passo 6

Verificação e comentários sobre t=0 e unicidade.
Verificação rápida diferenciando a solução:
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\arctan(t^{2}+1)=\frac{2t}{1+(t^{2}+1)^{2}}.
Então, para t\neq 0,
t^{-1}\frac{dy}{dt}=\frac{2}{1+(t^{2}+1)^{2}}.
Por outro lado, com \tan y=t^{2}+1 temos
\cos^{2}y=\frac{1}{1+\tan^{2}y}=\frac{1}{1+(t^{2}+1)^{2}},
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2\cos^{2}y=\frac{2}{1+(t^{2}+1)^{2}},
e assim a igualdade t^{-1}\dfrac{dy}{dt}=2\cos^{2}y é satisfeita para t\neq 0. Quanto a t=0, a forma original com t^{-1} é formalmente singular, mas a equação equivalente \dfrac{dy}{dt}=2t\cos^{2}y é válida em t=0 e a solução encontrada satisfaz essa última igualdade em t=0 (pois o lado direito vale 0 em t=0 e \dfrac{dy}{dt}\big|_{t=0}=0). Pelo teorema de existência e unicidade (o lado direito é contínuo e Lipschitz em y localmente), a solução encontrada é única que satisfaz a condição inicial.

Resposta

y(t)=\arctan\bigl(t^{2}+1\bigr)

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