Exercício 4: Determine a área da superfície S descrita em cada caso.
S é o subconjunto da esfera com centro na origem e raio 4 que é limitado pela superfície x^{2}+y^{2}=4 x e que está acima do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da superfície S descrita no seguinte caso.
Dados fornecidos:
  • S é um subconjunto da esfera de centro na origem e raio 4. Logo a esfera tem equação \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.
  • S está limitada pela superfície \,x^{2}+y^{2}=4x (essa é uma superfície cilíndrica vertical cuja interseção com o plano xy é um círculo).
  • S está acima do plano xy, ou seja, em pontos com z\ge 0.
O que se pede:
  • Calcular a área da região de superfície S da esfera que fica por cima do plano xy e dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=4x.

Passo 2

Escolha de coordenadas e parametização da esfera.
Uma forma natural de parametrizar pontos na esfera de raio 4 é usar coordenadas esféricas (convencionais):
x=4\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=4\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=4\cos\varphi,
onde \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (da direção positiva de z) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy. Como estamos restritos à parte acima do plano xy, temos z\ge0, isto é \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
Explicação do elemento de área sobre a esfera:
  • Se parametrizamos a superfície por (\varphi,\theta)\mapsto \mathbf{r}(\varphi,\theta) com \mathbf{r}(\varphi,\theta)=(4\sin\varphi\cos\theta,\,4\sin\varphi\sin\theta,\,4\cos\varphi),
  • então os vetores tangentes são \mathbf{r}_\varphi e \mathbf{r}_\theta e a área elementar é \,dS=\lVert \mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_\theta\rVert\,d\varphi\,d\theta.
Vou mostrar rapidamente o cálculo do módulo do produto vetorial (é uma conta mecânica, mas importante entender):
\mathbf{r}_\varphi = (4\cos\varphi\cos\theta,\,4\cos\varphi\sin\theta,\,-4\sin\varphi),
\mathbf{r}_\theta = (-4\sin\varphi\sin\theta,\,4\sin\varphi\cos\theta,\,0).
Calculando \mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_\theta e seu módulo obtém-se
\lVert \mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_\theta\rVert = 16\sin\varphi.
Portanto o elemento de área na esfera de raio 4 é
dS = 16\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
(Isto corresponde à fórmula geral para esfera de raio a: dS=a^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.)

Passo 3

Converter a equação limitante x^{2}+y^{2}=4x para as coordenadas esféricas e determinar a região de integração.
Primeiro, observe que na coordenada polar no plano xy a equação x^{2}+y^{2}=4x é a circunferência (em projeção) centrada em (2,0) de raio 2; também em coordenadas polares (r,\theta) do plano xy ela vira r^{2}=4r\cos\theta, ou seja r=4\cos\theta (além de r=0, que é trivial).
Na esfera temos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=4\sin\varphi. Substituindo em r=4\cos\theta obtemos a curva de interseção:
4\sin\varphi = 4\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin\varphi=\cos\theta.
Isso determina a fronteira em termos de \varphi e \theta.
Agora a desigualdade que define a região interna do cilindro é r\le 4\cos\theta. Como r=4\sin\varphi\ge0, isso vira
4\sin\varphi \le 4\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin\varphi \le \cos\theta.
Para que haja soluções devemos ter \cos\theta\ge 0, isto é \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]. Assim, para cada \theta nesse intervalo o ângulo \varphi varia de 0 até \phi_{\max}(\theta) definido por
\phi_{\max}(\theta)=\arcsin(\cos\theta).
Resumo dos limites de integração:
\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],\qquad \varphi\in\left[0,\\ \arcsin(\cos\theta)\right].
(Comentário prático: em \theta=0 tem-se \phi_{\max}=\arcsin(1)=\tfrac{\pi}{2} — a direção x>0 alcança o equador — e em \theta=\pm\tfrac{\pi}{2} tem-se \phi_{\max}=0 — nas direções y puras o cilindro não alcança pontos com r>0.)

Passo 4

Montar e calcular a integral da área usando o elemento dS=16\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
A área A de S é
A=\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\arcsin(\cos\theta)} 16\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Calcule a integral interna em \varphi:
\int_{0}^{\arcsin(\cos\theta)} 16\sin\varphi\,d\varphi =16\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\arcsin(\cos\theta)} =16\bigl(1-\cos(\arcsin(\cos\theta))\bigr).
Agora usar a identidade \cos(\arcsin(u))=\sqrt{1-u^{2}}. Com u=\cos\theta obtemos
\cos(\arcsin(\cos\theta))=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=|\sin\theta|.
No intervalo \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] isso vale como |\sin\theta|. Assim a integral sobre \theta fica
A=16\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\bigl(1-|\sin\theta|\bigr)\,d\theta =16\left(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1\,d\theta - \int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\sin\theta|\,d\theta\right).
Calcule as duas integrais:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1\,d\theta = \pi.
Para \int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\sin\theta|\,d\theta usamos simetria:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\sin\theta|\,d\theta = 2\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta =2\bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi/2}=2(1-0)=2.
Substituindo:
A=16\bigl(\pi - 2\bigr)=16\pi - 32.

Passo 5

Verificação rápida de coerência (sanity check):
  • A área encontrada é positiva pois \pi\approx3{,}14 e 16\pi-32\approx18{,}27.
  • A área é menor que a área do hemisfério superior da esfera de raio 4, que seria 2\pi a^{2}=2\pi\cdot16=32\pi\approx100{,}53. Faz sentido: estamos pegando apenas a parte da hemisfera que fica dentro do cilindro deslocado para a direita.
Força aí — tá pronta a conta e dá um número simples em termos de \pi.

Resposta

16\pi - 32

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