Exercício 4: Determine a área da superfície
descrita em cada caso.
é o subconjunto da esfera com centro na origem e raio 4 que é limitado pela superfície
e que está acima do plano
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da superfície
descrita no seguinte caso.
Dados fornecidos:
-
é um subconjunto da esfera de centro na origem e raio . Logo a esfera tem equação -
está limitada pela superfície (essa é uma superfície cilíndrica vertical cuja interseção com o plano é um círculo). -
está acima do plano , ou seja, em pontos com .
O que se pede:
- Calcular a área da região de superfície
da esfera que fica por cima do plano e dentro do cilindro .
Passo 2
Escolha de coordenadas e parametização da esfera.
Uma forma natural de parametrizar pontos na esfera de raio
é usar coordenadas esféricas (convencionais):
onde
é o ângulo polar (da direção positiva de
) e
é o ângulo azimutal no plano
. Como estamos restritos à parte acima do plano
, temos
, isto é
.
Explicação do elemento de área sobre a esfera:
- Se parametrizamos a superfície por
com , - então os vetores tangentes são
e e a área elementar é
Vou mostrar rapidamente o cálculo do módulo do produto vetorial (é uma conta mecânica, mas importante entender):
Calculando
e seu módulo obtém-se
Portanto o elemento de área na esfera de raio
é
(Isto corresponde à fórmula geral para esfera de raio
:
.)
Passo 3
Converter a equação limitante
para as coordenadas esféricas e determinar a região de integração.
Primeiro, observe que na coordenada polar no plano
a equação
é a circunferência (em projeção) centrada em
de raio
; também em coordenadas polares
do plano
ela vira
, ou seja
(além de
, que é trivial).
Na esfera temos
. Substituindo em
obtemos a curva de interseção:
Isso determina a fronteira em termos de
e
.
Agora a desigualdade que define a região interna do cilindro é
. Como
, isso vira
Para que haja soluções devemos ter
, isto é
. Assim, para cada
nesse intervalo o ângulo
varia de
até
definido por
Resumo dos limites de integração:
(Comentário prático: em
tem-se
— a direção
alcança o equador — e em
tem-se
— nas direções
puras o cilindro não alcança pontos com
.)
Passo 4
Montar e calcular a integral da área usando o elemento
.
A área
de
é
Calcule a integral interna em
:
Agora usar a identidade
. Com
obtemos
No intervalo
isso vale como
. Assim a integral sobre
fica
Calcule as duas integrais:
Para
usamos simetria:
Substituindo:
Passo 5
Verificação rápida de coerência (sanity check):
- A área encontrada é positiva pois
e . - A área é menor que a área do hemisfério superior da esfera de raio
, que seria . Faz sentido: estamos pegando apenas a parte da hemisfera que fica dentro do cilindro deslocado para a direita.
Força aí — tá pronta a conta e dá um número simples em termos de
.