(Boldrini) Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2). Em caso afirmativo exiba geradores: V=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] ; a, b, c, d \in \mathbb{R}\right. e \left.b=c\right\}.
Passo 1
O enunciado dá o espaço ambiente M(2,2) (todas as matrizes 2\times2 com entradas reais) e o subconjunto
V=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix};\\ a,b,c,d\in\mathbb{R}\\ \text{e}\\ b=c\right\}.
O que o exercício pede:
Determinar se V é um subespaço de M(2,2).
Se for subespaço, exibir geradores (um conjunto de matrizes que geram V por combinações lineares).
Informações relevantes dadas:
Qualquer elemento de V é uma matriz 2\times2 real com a entrada superior direita igual à entrada inferior esquerda.
Não há outras restrições além de b=c.
Passo 2
Relembrando a definição prática de subespaço (explicação didática): um subconjunto W de um espaço vetorial U é subespaço se satisfaz três propriedades equivalentes e fáceis de checar:
W contém o vetor zero de U.
W é fechado sob soma: se x,y\in W então x+y\in W.
W é fechado sob multiplicação por escalar: se x\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda x\in W.
Essas condições significam, em palavras, que somar matrizes de W ou multiplicá-las por escalares não tira o resultado de W. Vou testar essas três propriedades para V.
Passo 3
Testar se V contém a matriz zero (não dá pra ser subespaço se isso falhar).
A matriz zero em M(2,2) é
Na matriz soma a entrada superior direita é b_1+b_2 e a inferior esquerda é também b_1+b_2; portanto a igualdade entre essas entradas se mantém. Logo A+B\in V. Conclusão: V é fechado sob soma.]
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar (passo a passo):
Tome uma matriz qualquer de V,
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] b & d\end{pmatrix},
e um escalar \lambda\in\mathbb{R}. O produto escalar é
\lambda A=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b \\[4pt] \lambda b & \lambda d\end{pmatrix}.
A entrada superior direita é \lambda b e a inferior esquerda é \lambda b, portanto continuam iguais; assim \lambda A\in V. Conclusão: V é fechado sob multiplicação por escalares.]
Passo 6
Como V contém o vetor zero (Passo 3) e é fechado sob soma e multiplicação por escalares (Passos 4 e 5), pelas condições da definição V é um subespaço de M(2,2). (Intuição: a condição linear b=c é preservada por somas e escalares.)
Passo 7
Agora vamos exibir geradores (uma descrição paramétrica e um conjunto que gera V):
Qualquer matriz de V pode ser escrita usando os parâmetros a,b,d\in\mathbb{R} como
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] b & d\end{pmatrix}.
Factorizando por a, b e d obtemos a expressão como combinação linear
Logo \alpha=\beta=\gamma=0\], o que mostra que \(E_1,E_2,E_3 são linearmente independentes. Conclusão: \{E_1,E_2,E_3\} é uma base de V e, em particular, um conjunto de geradores.]
Passo 9
Resumo final e consequência prática (para a prova): V é subespaço de dimensão 3 de M(2,2). Uma base conveniente (portanto geradores) é dada por E_1,E_2,E_3 definidos no Passo 7. Na prova, ao ver uma condição do tipo “algumas entradas iguais” o procedimento padrão é parametrizar as entradas livres (aqui a,b,d) e escrever a matriz como combinação linear de matrizes unitárias correspondentes; isso já dá os geradores.