(Boldrini) Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2). Em caso afirmativo exiba geradores:
V=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] ; a, b, c, d \in \mathbb{R}\right. e \left.b=c\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço ambiente M(2,2) (todas as matrizes 2\times2 com entradas reais) e o subconjunto
V=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix};\\ a,b,c,d\in\mathbb{R}\\ \text{e}\\ b=c\right\}.
O que o exercício pede:
  • Determinar se V é um subespaço de M(2,2).
  • Se for subespaço, exibir geradores (um conjunto de matrizes que geram V por combinações lineares).
Informações relevantes dadas:
  • Qualquer elemento de V é uma matriz 2\times2 real com a entrada superior direita igual à entrada inferior esquerda.
  • Não há outras restrições além de b=c.

Passo 2

Relembrando a definição prática de subespaço (explicação didática): um subconjunto W de um espaço vetorial U é subespaço se satisfaz três propriedades equivalentes e fáceis de checar:
  1. W contém o vetor zero de U.
  2. W é fechado sob soma: se x,y\in W então x+y\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se x\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda x\in W.
Essas condições significam, em palavras, que somar matrizes de W ou multiplicá-las por escalares não tira o resultado de W. Vou testar essas três propriedades para V.

Passo 3

Testar se V contém a matriz zero (não dá pra ser subespaço se isso falhar).
A matriz zero em M(2,2) é
0=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui a entrada superior direita é 0 e a inferior esquerda também é 0, logo b=c vale. Portanto 0\in V. Conclusão: V contém o vetor zero.]

Passo 4

Fechamento por soma (passo a passo, didático):
Sejam duas matrizes quaisquer de V,
A=\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\[4pt] b_1 & d_1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\[4pt] b_2 & d_2\end{pmatrix},
onde escrevi explicitamente c=b para cada uma (usei parâmetros a_i,b_i,d_i\in\mathbb{R}). A soma é
A+B=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2 \\[4pt] b_1+b_2 & d_1+d_2\end{pmatrix}.
Na matriz soma a entrada superior direita é b_1+b_2 e a inferior esquerda é também b_1+b_2; portanto a igualdade entre essas entradas se mantém. Logo A+B\in V. Conclusão: V é fechado sob soma.]

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar (passo a passo):
Tome uma matriz qualquer de V,
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] b & d\end{pmatrix},
e um escalar \lambda\in\mathbb{R}. O produto escalar é
\lambda A=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b \\[4pt] \lambda b & \lambda d\end{pmatrix}.
A entrada superior direita é \lambda b e a inferior esquerda é \lambda b, portanto continuam iguais; assim \lambda A\in V. Conclusão: V é fechado sob multiplicação por escalares.]

Passo 6

Como V contém o vetor zero (Passo 3) e é fechado sob soma e multiplicação por escalares (Passos 4 e 5), pelas condições da definição V é um subespaço de M(2,2). (Intuição: a condição linear b=c é preservada por somas e escalares.)

Passo 7

Agora vamos exibir geradores (uma descrição paramétrica e um conjunto que gera V):
Qualquer matriz de V pode ser escrita usando os parâmetros a,b,d\in\mathbb{R} como
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] b & d\end{pmatrix}.
Factorizando por a, b e d obtemos a expressão como combinação linear
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] b & d\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto as três matrizes
E_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\qquad E_3=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}
geram V, pois qualquer elemento de V é combinação linear delas com coeficientes a,b,d.]

Passo 8

Verificação rápida de independência linear (para saber se esses geradores formam uma base):
Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\) tais que \[\alpha E_1+\beta E_2+\gamma E_3 =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Escrevendo as entradas obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha = 0 & \text{(entrada (1,1))},\\[4pt] \beta = 0 & \text{(entrada (1,2) ou (2,1))},\\[4pt] \gamma = 0 & \text{(entrada (2,2))}. \end{cases}
Logo \alpha=\beta=\gamma=0\], o que mostra que \(E_1,E_2,E_3 são linearmente independentes. Conclusão: \{E_1,E_2,E_3\} é uma base de V e, em particular, um conjunto de geradores.]

Passo 9

Resumo final e consequência prática (para a prova): V é subespaço de dimensão 3 de M(2,2). Uma base conveniente (portanto geradores) é dada por E_1,E_2,E_3 definidos no Passo 7. Na prova, ao ver uma condição do tipo “algumas entradas iguais” o procedimento padrão é parametrizar as entradas livres (aqui a,b,d) e escrever a matriz como combinação linear de matrizes unitárias correspondentes; isso já dá os geradores.

Resposta

Sim. Geradores (por exemplo, uma base) são
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

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